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湖北省黄石市部分学校2025届高三五月适应性考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合，则（????）
A． B．
C． D．
2．设，则（????）
A． B． C． D．
3．设向量，且，则等于（????）
A．3 B．2 C． D．
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是
A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm
5．设为等比数列，则“对于任意的，”是“为递减数列”的（????）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
7．已知直线（a，b是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（????）
A．60条 B．66条 C．72条 D．78条
8．设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（???）
A． B．2 C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（????）
A．函数为偶函数
B．曲线的对称轴为
C．在区间单调递增
D．的最小值为
10．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（????）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
11．若函数为函数的导函数，且对于任意实数，函数值，，均为递增的等差数列，则（???）
A．函数不可能为奇函数 B．函数存在最大值
C．函数存在最小值 D．函数有且仅有一个零点
三、填空题
12．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于．
13．若的面积是外接圆面积的，则．
14．组合数学常应用于计算机编程，计算机中著名的康威生命问题与开关问题有相似的地方．下图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关一次，将导致自身和周围所有相邻的开关改变状态，例如，按将导致，，，改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为．
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，平面，平面平面，，．
??
(1)证明：；
(2)若，为的中点，求与平面所成角的正弦值．
16．某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；
（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
17．如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
18．已知、，函数．
(1)若曲线在处的切线方程为，求的值；
(2)若函数在上单调递增，求的取值范围；
(3)若对，函数至多有两个零点，求的取值范围．
19．记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”：
①，其中；
②?，其中；
③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得．
(1)设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）
(2)已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明：
（i）当时，；
（ii）．
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《湖北省黄石市部分学校2025届高三五月适应性考试数学试题》参考答案
题号
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