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湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合，集合，则（????）
A． B． C． D．
2．若复数，其中为虚数单位，则（????）
A． B． C． D．
3．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第六个单音的频率为（????）
A． B． C． D．
4．已知点，，，点P在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
5．已知函数的部分图象如图所示，则（????）
A． B． C． D．
6．在等差数列中，，则的最小值等于（???）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则的解集为（????）
A． B．
C． D．
8．在棱长为2的正方体中，P，Q，R分别为线段，，上的动点，则的最小值为（????）
A． B． C． D．5
二、多选题
9．已知关于变量x，y的4组数据如表所示：
x
6
8
10
12
y
a
10
6
4
根据表中数据计算得到x，y之间的线性回归方程为，x，y之间的相关系数为r（参考公式：），则（????）
A． B．变量x，y正相关 C． D．
10．设直线与圆，则下列结论正确的为（????）
A．可能将的周长平分
B．若圆上存在两个点到直线的距离为1，则的取值范围为
C．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为2
D．若直线与圆交于两点，则中点的轨迹方程为
11．若是函数的极值点，则下列结论不正确的是（????）
A．有极大值-1 B．有极小值-1
C．有极大值0 D．有极小值0
三、填空题
12．某对新婚夫妇响应国家号召，计划生育3个孩子．假设每胎只有一个小孩，且每胎生男生女的概率相等，记事件为“该夫妇儿女双全”，则．
13．已知函数，.若存在，使得关于x的方程有四个不相等的实数解，则n的最大值为.
14．若直线与曲线相切，则的取值范围为.
四、解答题
15．现有两组数据，组：组：.先从组数据中任取3个，构成数组，再从组数据中任取3个，构成数组，两组抽取的结果互不影响.
(1)求数组的数据之和不大于8且数组的数据之和大于8的概率；
(2)记，其中表示数组中最小的数，表示数组中最大的数，求的分布列以及数学期望.
16．随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，、为线段，是以为直径的半圆，，，.
(1)求BC的长度；
(2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道（B，D在两侧），其中，为线段.若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度?（精确到0.01km）
17．如图，四棱锥中，底面为梯形，，点为的中点，且，点在上，且.
（1）求证://平面
（2）若平面平面，且，求三棱锥的体积.
18．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有且仅有3个零点，求实数的取值范围.
19．已知直线与平面所成的角为，动点在平面内，如果点到直线的距离总是，则点的轨迹为椭圆，如图所示．以该椭圆的中心为坐标原点，长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，动点在直线上，直线QA交椭圆于另一点，直线QB交椭圆于另一点，探究：直线MN是否经过一定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
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《湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
B
D
C
A
A
AC
BC
题号
11
答案
BCD
1．A
【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.
【详解】解：因为，而，
所以.
故选：A
2．C
【分析】先求得共轭复数，再利用复数模长的性质即可