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湖南省常德市临澧县第一中学2024-2025学年高一下学期第二次阶段检测（4月）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数z满足，则（????）
A． B． C． D．
2．已知某圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（????）
A． B．4π C． D．8π
3．已知，则与的夹角为（????）
A． B． C． D．
4．一艘轮船从A处沿正东方向航行10千米到达B处，再从B处沿北偏东30°的方向航行15千米到达C处，则A，C之间的距离是（????）
A．千米 B．千米 C．20千米 D．千米
5．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（????）
A．4 B． C． D．
6．在中，已知，，则“”是“”成立的（????）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
7．在平行四边形中，为的中点，若，则的长为（????）
A． B． C． D．1
8．在中,分别为内角的对边,且,则
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知复数，其中为虚数单位，在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（????）
A．当时，为纯虚数
B．满足的点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆
C．的虚部为
D．若且复数是方程的一个根，则方程的另一个复数根为
10．已知函数，下列说法正确的是（???）
A．
B．函数的图象关于点中心对称
C．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象
D．函数在区间上单调递增
11．如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（????）
A．最大值为1 B．最大值为1
C．最大值是2 D．最大值是
三、填空题
12．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是.
13．在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积.
14．已知某种有盖的圆柱形容器的底面圆半径为，高为120，现有若干个半径为的实心球，则该圆柱形容器内最多可以放入个这种实心球.
四、解答题
15．如图，在直角梯形中，，在梯形内，挖去一个以为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分，若将该图形中阴影部分绕所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积.
16．已知向量，.
(1)若，求m的值；
(2)当时，若，求的最小值.
17．如图，直三棱柱中，，，，P为线段上的动点．
(1)当P为线段上的中点时，求三棱锥的体积；
(2)当P在线段上移动时，求的最小值．
18．如图，在平面四边形中，，，，．
??
(1)若，求的值；
(2)若，，求AD的长．
19．定义：向量的“相伴函数”为；函数的“相伴向量”为（其中为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.
(1)设函数，求证：；
(2)若函数，且，求其“相伴向量”的模的取值范围；
(3)已知动点和定点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值.求的取值范围.
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《湖南省常德市临澧县第一中学2024-2025学年高一下学期第二次阶段检测（4月）数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
D
B
B
A
B
BD
AB
题号
11
答案
ACD
1．B
【分析】计算出，利用复数除法法则计算出.
【详解】，故，
.
故选：B
2．B
【分析】圆的周长公式求出，然后由圆锥侧面积公式可得.
【详解】设圆锥的母线长为，则由题意有，得，
所以侧面积为.
故选：B
3．A
【分析】将两边同时平方，再结合平面向量的数量积运算，即可求解
【详解】设与的夹角为，,，
由题意可知，，
，
则，即，故，结合,，解得．
故选：A．
4．D
【分析】根据余弦定理计算得解.
【详解】在中，千米，千米，，则由余弦定理可得，则千米．
故选：D.
5．B
【分析】根据斜二测画法得到原图，进而求出原图的面积.
【详解】还原直观图为原图形，如图所示，
因为，所以，
还原回原图形后，，
所以原图形面积为.
故选：B
6．B
【分析】根据正弦定理以及“大边对大角”即可判断出结果.
【详解】由正弦定理得，即，
，又因为，
或