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天津市咸水沽第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数z满足：，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（???）
A． B． C． D．
2．对于平面向量，，，下列叙述正确的是（????）
A．若，则 B．若与是单位向量，则
C．若，则 D．若，，则
3．已知点，则与向量同方向的单位向量为（????）
A． B． C． D．
4．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（????）
A． B． C． D．
5．若与的数量积为6，，则（????）
A． B． C． D．
6．在中，，则向量在向量上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
7．在锐角中，，，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，与交于点，过点作直线，分别交，于点，，若，，则的最小值为（???）
A． B． C．2 D．
9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（????）
A． B． C． D．
二、填空题
10．若复数在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上，则实数．
11．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为.
12．如图：在矩形中，，，垂足为，则．
13．已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是.
14．已知O为△内部一点，且，则△的面积为
15．如图，在中，，，为上一点，且满足，；若的面积为，则的最小值为．
三、解答题
16．已知向量，，，且，．
(1)求向量、；
(2)若，，求向量，的夹角的大小.
17．已知向量.
（1）若向量，且，求的坐标；
（2）若向量与互相垂直，求实数的值.
18．在中，角的对边分别为，且满足.
(1)求角B的大小；
(2)若，求的面积.
19．如图，在中，已知，是中点，是上靠近的三等分点，相交于点.
??
(1)，求的值；
(2)求的余弦值.
20．已知的内角的对边为，且
(1)求;
(2)若的面积为
①已知为的中点，且，求底边上中线的长;
②求内角的角平分线长的最大值.
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《天津市咸水沽第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
B
C
B
B
D
A
A
C
1．D
【分析】由复数的四则运算法则化简求出，再由共轭复数的定义结合复数虚部的概念求解即可.
【详解】，，
，，
，的共轭复数的虚部为，故D正确.
故选：
2．B
【分析】举反例判断A，C，D，利用平面向量数量积的定义判断B即可.
【详解】对于A，若，此时，而且，故A错误，
对于B，因为与是单位向量，，
所以，故B正确，
对于C，当时，若，则，故C错误，
对于D，当时，满足，，而不一定有，故D错误.
故选：B
3．C
【分析】首先求出，再求出，最后根据与同方向的单位向量为计算即可.
【详解】因为，，
所以，则，
得到与同方向的单位向量为，故C正确.
故选：C
4．B
【分析】设，由，，得到，结合平面向量的基本定理，化简得到，即可求解.
【详解】由题意，设，则在平行四边形ABCD中，
因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，
所以，
又因为，且，
所以，
所以，解得，所以。
故选：B.
【点睛】平面向量的基本定理的实质及应用思路：
1、应用平面向量的基本定理表示向量的实质时利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；
2、用平面向量的基本定理解决实际问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
5．B
【分析】利用数量积的定义结合给定条件得到，再代入得到方程，最后结合求解夹角即可.
【详解】因为，所以，
即，而，
得到，解得，
因为，所以，故B正确.
故选：B
6．D
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】由题意：
在方向上的投影向量为:
.
7．A
【分析】以为原点，所在直线为轴建立坐标系，得到，找出三角形为锐角三角形的的位置，得到所求范围.
【详解】解：以为原点，所在直线为轴建立坐标系，
，，
，
设
是