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重庆市广益中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数，则的虚部为（????）
A． B．1 C． D．3
2．平面向量与的夹角为,则
A． B．12 C．4 D．
3．设为两个非零向量，则“”是“”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为（????）．
A．5千米 B．千米 C．4千米 D．千米
5．已知，则在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
6．中，三边之比，则等于（????）
A． B． C．2 D．
7．为所在平面上动点，点满足,,则射线过的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
8．如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若复数，则（???）．
A． B．z在复平面内对应的点位于第三象限
C． D．复数满足，则的最大值为
10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（???）
A．若，则
B．若，则有两解
C．若，则为钝角三角形
D．若，则为等腰三角形或直角三角形
11．已知中，，D在BC上，AD为的角平分线，E为AC中点，下列结论正确的是（???）
A． B．的面积为
C． D．P在的外接圆上，则的最大值为
三、填空题
12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，．
13．已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是．
14．已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围.
四、解答题
15．已知向量，，
（1）若，求的值；
（2）若，求向量与的夹角的余弦值.
16．在中，角的对边分别为，且满足．
(1)求B的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
17．记的内角的对边分别为，满足.
(1)求角；
(2)若，，是中线，求的长.
18．在中，角所对的边分别为，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分）
①
②
③
(1)求的大小；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
19．在中，是边上靠近的三等分点.
(1)若，证明：；
(2)若.
（i）求面积的最大值；
（ii）求的最小值.
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《重庆市广益中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
A
B
A
C
B
D
ACD
ACD
题号
11
答案
AD
1．A
【分析】根据虚部的概念即可得到答案.
【详解】因为，则其虚部为.
故选：A.
2．D
【解析】由题意可得，由数量积的定义，代入已知数据可得答案．
【详解】由题意可得
故选：D．
【点睛】本题考查向量的模的计算，涉及向量的夹角，以及向量的数量积运算，属于常考题型．
3．A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合共线向量的定义分析判断
【详解】因为，所以同向共线，所以，
因为，所以同向共线，此时不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．B
【分析】将题意转化为解三角形问题，利用正弦定理计算即可.
【详解】根据题意可知，.
在中，由正弦定理得,即.
故选:B
5．A
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求得答案.
【详解】由，得，，
所以在上的投影向量为.
故选：A
6．C
【分析】首先由结合余弦定理得出，然后根据二倍角公式和正弦定理即可得出结果.
【详解】因为，不妨设，
则，
所以.
故选：C.
7．B
【分析】将变形为，因为和的模长都是1，根据平行四边形法则可得，过三角形的内心.
【详解】
因为和分别是和的单位向量
所以是以和为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量
所以的方向与的角平分线重合
即射线过的内心
故选B
【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则、单位向量的性质以及三角形四心的性质，属于中档题.
8．D
【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，设，