PAGE
PAGE1
西南大学附中2023—2024学年度下期期末考试
高一数学试题
（满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则（）
A.1 B. C.2 D.
2.若平面和直线，满足，，则与的位置关系一定是（）
A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或异面
3.在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（）
A. B.或 C.或 D.
4.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（）
A B. C. D.
5.已知向量，满足，，且，则（）
A. B. C.2 D.1
6.在中，，，.为中点，为上一点，且，则（）
A. B. C. D.
7.下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点D、E、F分别为其所在棱的中点，能得出平面DEF的是（）
A.B. C. D.
8.已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（）
A.120° B.135° C.150° D.165°
二、多选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若复数，为的共轭复数，则以下正确的是（）
A.在复平面对应的点位于第二象限 B.
C. D.为纯虚数
10.已知圆锥的底面半径，母线长，，是两条母线，是的中点，则（）
A.圆锥体积为
B.圆锥的侧面展开图的圆心角为
C.当为轴截面时，圆锥表面上点到点的最短距离为
D.面积的最大值为2
11.对非零向量，，定义运算“”：，其中为与夹角，则（）
A.若，则
B.若，，则
C.若中，，，，则
D.若中，，则是等腰三角形或有内角为135°的三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知平面向量，，若，则______.
13.如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体的外接球表面积为______.
14.费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点.具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于120°时，则使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.设点O为的费马点，且满足，则边a的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求异面直线与所成角的余弦值.
16.在中，内角，，的对边分别为，，.已知.
（1）求；
（2）若，，设为延长线上一点，且，求线段的长.
17.如图，在正四棱锥中，，点，分别满足，.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角正弦值.
18.如图，已知三棱台的下底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）求点B到平面的距离；
（3）若P为BC的中点，Q为的中点，点F在侧面内，且平面APQ，当的面积最小时，求平面ACF与平面夹角的余弦值.
19.在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，，求边上的角平分线长；
（3）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围.