黑龙江省牡丹江市第二高级中学2023?2024学年高一下学期期末考试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．若复数为纯虚数，则（????）
A． B． C． D．
2．在中，，则的长为（????）
A．1 B． C．2 D．
3．已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．向量在向量上的投影向量为，则（????）
A． B． C．8 D．12
5．某社区积极进行生活垃圾分类宣传，通过多种宣传形式，让环保理念深入人心.该社区居民在驿站督导员的引导下将分好类的垃圾进行投放后，可积攒积分兑换礼品，真正实现“变废为宝”.如图为某居民在2021年1月至12月每月所得积分(单位：分)统计图，则下列结论不正确的是（????）
A．月积分的众数为100分
B．月积分不低于150分的月份占比约为41.7%
C．月积分的中位数为4月份对应的积分
D．1月至6月的月积分的方差小于7月至12月的月积分的方差
6．一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为（????）
A．3 B． C．6 D．
7．某比赛为甲、乙两名运动员制定下列发球规则，规则一：投掷1枚质地均匀的硬币，出现正面向上，甲发球，否则乙发球；规则二：从装有质地均匀的2个红球与2个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有质地均匀的3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球．则对甲、乙公平的发球规则是（????）
A．规则一和规则二 B．规则二和规则三
C．规则一和规则三 D．只有规则一
8．动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列叙述错误的是（????）
A．用抽签法从件产品中选取件进行质量检验是简单随机抽样
B．若事件发生的概率为，则
C．甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些
D．对于任意两个事件和，都有
10．下列关于向量，，的运算，一定成立的有（????）
A． B．
C． D．
11．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，可用公式（其中为三角形的三边和面积）表示．在中，分别为角所对的边，若，且，则下列命题正确的是（????）
A．面积的最大值是 B．
C． D．面积的最大值是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知一组数据按从小到大的顺序排列为：，且其中位数是31，则数据的第60百分位数是.
13．设，为实数，且，虚数为方程的一个根，则的最大值为.
14．米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为和，侧棱长为，则其外接球的体积为.
??
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知：如图，四棱锥，平面，四边形是平行四边形，为中点，.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
16．在中，分别为内角的对边，且．
(1)求角A的大小；
(2)设角A的内角平分线交于点，若的面积为，求的值．
17．某班共50名学生，根据他们一次平时测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．已知分数为的矩形面积为0.16．
??
(1)求分数在内的学生人数并计算这次测试的平均成绩；
(2)以频率估计概率，已知在全校学生中采用分层抽样在和范围内共抽取了5人，求从这5人中随机选取2人，这2人中至少有1人分数在内的概率．
18．在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为，该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中：
(1)该同学得4分的概率；
(2)该同学得分不超过3分的概率.
19．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
参考答案
1．【答案】A
【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的概念列方程即可得解.
【详解】，
所以，解得.
故选A.
2．【答案】D
【分析】利用正弦定理即可求解.
【详解】，即，得.
故选D.
3．【答案】B
【分析】根据向量的夹角为钝角，由且与不共线求