甘肃省酒泉市2023?2024学年高一下学期7月期末考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．某省为全运会选拔跳水运动员，对某运动员进行测试，在运动员跳完一个动作之后由7名裁判打分，统计结果为平均分9.5分，方差为a，为体现公平，裁判委员会决定去掉一个最高分10分，一个最低分9分，则（????）
A．平均分变大，方差变大 B．平均分变小，方差变小
C．平均分不变，方差变大 D．平均分不变，方差变小
2．已知i是虚数单位，则复数（????）
A．-1 B．i C． D．1
3．已知向量，，若，则（????）
A． B． C． D．6
4．设α是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则（????）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为（????）
A． B． C． D．
6．若正方体的内切球的表面积为，则此正方体最多可容纳半径为1的小球的个数为（????）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
7．已知，则（????）
A． B． C． D．
8．如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，其中，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则的值为（????）
A． B． C． D．
10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（????）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．丙与丁相互独立 D．乙与丙不相互独立
11．如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（????）
??
A．
B．
C．直线与平面所成角的最大值是
D．的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知复数z的模为2，则的最大值为．
13．某科研攻关项目中遇到一个问题，请了甲、乙两位专家单独解决此问题，若甲、乙能解决此问题的概率分别为m，n，则此问题被解决的概率为
14．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点，，处测得阁顶端点的仰角分别为，，.且米，则滕王阁高度米.
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，与的夹角是.
(1)求的值及的值；
(2)当为何值时，
16．本学期初，某校对全校高一学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分五组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求a的值，并估计该校高一学生数学成绩的平均数和第分位数；
(2)为进一步了解学困生的学习情况，从上述数学成绩低于70分的学生中，分层抽样抽出6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率．
17．（1）叙述并证明平面与平面平行的性质定理；
（2）设，是两个不同的平面，，是平面，之外的两条不同直线，给出四个论断：①；②；③；④．以其中三个论断作为条件，以下一个作为结论，写出一个正确的命题，并证明．
18．已知向量，函数．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)设中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且锐角B满足，求的取值范围．
19．如图，在六面体中，，正方形的边长为2，．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线EF与平面所成角的正切值；
(3)求平面与平面所成二面角的余弦值；
(4)求多面体的体积．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据给定条件。利用平均数的计算公式，以及方差的意义，即可判断得解.
【详解】设个打分中除了一个最高分分和一个最低分分之外的数据为，
依题意，，则，
则去掉一个最高分分和一个最低分分之后的平均分为，平均分不变；
由于去掉一个最高分和最低分后，数据更加集中，因此方差变小.
故选D.
2．【答案】A
【分析】根据复数的乘除运算即可求解.
【详解】.
故选A.
3．【答案】A
【分析】根据共线向量的坐标表示求得结果.
【详解】已知向量，，，
所以，解得.
故选A.
4．【答案】B
【分析】选项A和D，通过举出例子判断正误；选项B，由线面垂直的判定定理得结果正确；选项C，利用线面垂直的性质，可得，从而判断出结果的正误.
【详解】对于选项