安徽省皖北县中联盟2023?2024学年高一下学期期末联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．集合满足，，，则集合中的元素个数为（????）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，则“”是“”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（????）
A． B．2 C． D．
5．某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具．这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为（????）
A． B． C． D．
6．函数fx=sinωx+
A．23π,76
C．23π,76
7．在正四棱台中，，点为底面的中心，则异面直线与所成的角为（????）
A． B． C． D．
8．已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在学校组织的《爱我中华》主题演讲比赛中，有10位评委对每位选手进行评分（评分互不相同），将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分，则下列选项正确的是（????）
A．剩下评分的平均值变大
B．剩下评分的极差变小
C．剩下评分的方差变小
D．剩下评分的中位数变大
10．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（????）
A．圆台的母线与底面所成的角为
B．圆台的侧面积为
C．圆台的体积为
D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为
11．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．对于图2．下列结论错误的是（????）
??
A．这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形
B．若，则
C．若，则
D．若是的中点，则的面积是面积的5倍
三、填空题（本大题共3小题）
12．某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为300的样本，则应抽取三年级的学生人数为．
13．在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为．
14．人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．已知二维空间两个点、，则其曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离为．已知，、、、，若，，则．
四、解答题（本大题共5小题）
15．某厂引进一种生产新能源汽车关键部件的设备，为了解该设备生产的关键部件的某项指标的情况，随机抽取了100件关键部件的该项指标数据，按分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值；
(2)估计样本中指标数据的分位数．
16．已知的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的周长.
17．某校为了培养学生数学学科的核心素养，组织了数学建模知识竞赛，共有两道题目，答对每道题目得10分，答错或不答得0分．甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，各题答题结果互不影响．已知第一题至少一人答对的概率为．
(1)求的值；
(2)求甲、乙得分之和为30分的概率．
18．如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，．
??
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值．
19．已知函数满足，且，当时，．函数．
(1)求实数的值；
(2)当时，求的解析式；
(3)设，是否存在实数，使不等式在时恒成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据题意，结合集合的交集、并集的概念及运算，即可求解.
【详解】由集合满足,
因为，可得，
又因为，可得，
因为，所以，即集合中的元素个数为4．
故选B.
2．【答案】D
【详解】，
复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限．
故选：D
3．【答案】A
【分析】由向量垂直的坐标表示求得值，结合充分必要条件的判定方法得答案．
【详解】当时，，所以，充分性成立；
，
，解得或