安徽省淮南第一中学等校2023?2024学年高一下学期期末考试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数在复平面内对应的点位于（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量，，，若与共线，则实数（????）
A． B． C． D．0
3．2024年全国夏季游泳锦标赛将在合肥举办，某高中共有男学生1300人，女学生1100人，男教师150人，女教师100人申请做志愿者，现按人数比例用分层随机抽样的方法从中抽取部分人，若抽取的人中男性有290人，则抽取的总人数为（????）
A．480 B．500 C．520 D．530
4．已知在梯形中，，，，若，则（????）
A．， B．，
C．， D．，
5．从，，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，则这2个数的乘积不超过1的概率为（????）
A． B． C． D．
6．在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（????）
??
A． B． C． D．
7．已知正四棱锥的底面边长为2，体积为，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（????）
A． B． C． D．
8．在水平桌面上放置一个上、下底面直径分别为2，4，高为2的敞口圆台形容器，现往其内部注水至水面高度为1，然后将上底面加盖，使容器完全密封，再把此容器倒扣在水平桌面上，记此时的水面高度为，则（????）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某学校举办了一次数学竞赛，共有200名参赛者，对所有参赛者的成绩进行统计，所有成绩都在内，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则（????）
A．
B．所有参赛者成绩的极差小于50
C．估计所有参赛者成绩的中位数为70.5
D．成绩在区间内的人数为64
10．设，，则下列结论中正确的是（????）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．在三棱锥中，若，，分别为棱，，的中点，平面，平面，平面相交于点，则（????）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若向量，，则在上的投影向量的坐标为.
13．已知一个高为3的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为2的球的球面上，设圆锥和球的体积分别为，，则.
14．已知在中，，，，为线段的延长线上一点，的平分线所在的直线与直线交于点，则.
参考数据：.
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，设向量，，且，.
(1)求的值；
(2)若，求.
16．某校高一（1）班，（2）班的学生人数分别为40，42，在某次测验中，记（1）班所有学生的成绩分别为，，…，，平均成绩为，方差为，已知，.
(1)求，；
(2)记（2）班所有学生的成绩分别为，，…，，其平均成绩为82，，试求两个班的所有学生的平均成绩（结果保留整数），并说明哪一个班的成绩比较稳定.
17．某公司拟通过摸球抽奖的方式对员工发放生日红包.先在一个不透明的袋子中装入7个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为100元、200元、300元的球分别有2个、2个、3个.参与的员工每次从袋中随机摸出1个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：某员工摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的生日红包的总金额.
(1)当时，求甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率；
(2)当时，设事件“甲员工获得的生日红包总金额不超过400元”，事件“甲员工获得的生日红包总金额不低于300元”，试判断事件，是否相互独立，并说明理由.
18．在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)如图，为的外接圆的上一动点（含端点），.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）当且点不重合时，求.
19．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，点在线段上，且为的重心，点在棱上，且，点在棱上，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若，，求点到平面的距离.
参考答案
1．【答案】C
【分析】化简复数后，利用复数对应象限内点的特征求解即可.
【详解】由题意得，故在复平面内对应的点为，
该点位于第三象限.
故选C.
2．【答案】B
【分析】求出的坐标，根据向量平行的坐标表示，列式求解，即得答案.
【详解】由题可知向量，，，
则，因为与共线，
所以，解得.
故选B.
3．【答案】D
【分析】根据男性所占比例即可得解.
【详解】因为，
所以抽取的总人数为.
故选D.
4．【答案】A
【分析】证明可得，然后根据平面向量线性运算可得.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以，.
故选A.
5．【答案】B
【分析】先利用列举法得到基本事件数和符合条件的事件数，再利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】