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广东省汕尾市城区汕尾中学2024-2025学年高三下学期三月质检数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则的元素个数为（????）
A． B． C． D．
2．（????）
A． B． C． D．
3．椭圆的一个焦点是，则m的值为（????）
A．2 B． C．4 D．
4．已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量与共面，且满足，则（????）
A． B． C． D．
5．已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴交于点为C上一点，，则（????）
A． B． C． D．
6．已知数列的各项均为正数，记，，，，设甲：是公比为q的等比数列；乙：对任意，，，三个数是公比为q的等比数列，则（???）．
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分又不必要条件
7．已知函数，其中表示不大于的最大整数，则（?????）
A．是奇函数 B．是周期函数
C．在上单调递增 D．的值域为
8．记数列的前n项积为，且，若数列满足，则数列的前20项和为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知的内角的对边分别是，（????）
A．若，则
B．若，则
C．若成等比数列，则
D．若成等差数列，则
10．已知点，，为圆上的点，则（????）
A．的最大值为
B．的最大值为
C．的最大值为
D．的最大值为
11．已知正方体，的棱长为1，点P是正方形上的一个动点，初始位置位于点处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为，向对角顶点移动的概率为，如当点P在点处时，向点，移动的概率均为，向点移动的概率为，则（????）
A．移动两次后，“”的概率为
B．对任意，移动n次后，“平面”的概率都小于
C．对任意，移动n次后，“PC⊥平面”的概率都小于
D．对任意，移动n次后，四面体体积V的数学期望（注：当点P在平面上时，四面体体积为0）
三、填空题
12．展开式中的常数项为.
13．若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为．．
14．已知正四面体的棱长为2，动点满足，且，则点的轨迹长为.
四、解答题
15．材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数.根据以上材料：
（1）直接写出初等函数极值点
（2）求初等函数极值.
16．已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍.
??
(1)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值；
(2)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，的平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值.
17．如图，在四棱台中，下底面是平行四边形，，，，，，为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
18．一个质点在一条直线上“随机游走”，向左走一步和向右走一步的概率均为，试探讨下列问题：
(1)若质点进行了4次“随机游走”，在其中恰有2次向右游走的情况下，求第二次向左游走的概率；
(2)记为次游走中恰有2次向右游走的概率，令.记为不超过次游走的情况下，向右游走2次后停止游走（若向右游走一直不足2次，在游走到次时也停止游走），此时一共游走的次数，的数学期望为.请比较与的大小，并说明理由.
19．已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，注：.
（1）求证：函数在上是“绝对差有界函数”；
（2）记集合存在常数，对任意的，有成立.求证：集合中的任意函数为“绝对差有界函数”；
（3）求证：函数不是上的“绝对差有界函数”.
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《广东省汕尾市城区汕尾中学2024-2025学年高三下学期三月质检数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
B
A
C
B
C
ACD
AB
题号
11
答案
AC