课后习题(三十一)解三角形及其应用举例
1．(人教A版必修第二册P51练习T1改编)一艘轮船以18nmile/h的速度沿北偏东40°的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东20°方向上10nmile处有一灯塔，继续行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为()
[A]17nmile [B]16nmile
[C]15nmile [D]14nmile
2．(人教B版必修第四册P21复习题B组T7改编)如图所示，点A是等边△BCD外一点，且∠BAD＝2π3，AD＝2，BD＝23，则△ABC的周长为(
[A]23 [B]4＋23
[C]6＋23 [D]43＋2
3．(人教A版必修第二册P49例10改编)如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()
[A]10m [B]53m
[C]5(3－1)m [D]5(3＋1)m
4．(人教B版必修第四册P10例4改编)如图，在四边形ABCD中，∠DAB与∠DCB互补，AB＝6，BC＝4，CD＝4，AD＝2，则AC＝________．
5．(2024·保定期中)如图，一艘船航行到点B处时，测得灯塔A在其北偏西60°的方向，随后该船以20nmile/h的速度，往正北方向航行两小时后到达点C，测得灯塔A在其南偏西75°的方向，此时船与灯塔A间的距离为()
[A]203nmile [B]403nmile
[C]206nmile [D]406nmile
6．(2024·成都调研)伯乐树是中国特有的国家一级保护树种，被誉为“植物中的龙凤”，常散生于湿润的沟谷坡地或小溪旁．一植物学家为了监测一棵伯乐树的生长情况，需测量树的高度．他在与树干底部在同一水平面的一块平地上利用测角仪(高度忽略不计)进行测量．如图，A，B是与树根处D点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为C点．植物学家在A，B两点测得C的仰角分别为45°，30°，AB＝307m，且∠ADB＝150°，则树的高度DC的值为()
[A]25m [B]257m
[C]30m [D]307m
7．(2024·保定期末)在梯形ABCD中，AD∥BC，CD＝4，△ABC是边长为3的正三角形，则sin∠ADC＝()
[A]34 [B]
[C]74 [D]
8．(2025·江西鹰潭10月联考)镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺、国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度MN，如图所示，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB，高为7.5m，在地面上点C处(B，C，N在同一水平面上且三点共线)测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为(参考数据：3≈1.73)()
[A]37.52m [B]35.48m
[C]33.26m [D]31.52m
9．(2024·济南月考)已知在△ABC中，AB＝3，BC＝2，D为AC中点，且∠CBD＝60°，则BD＝________．
10．(2024·沈阳皇姑区二模)如图，在平面内，四边形ABCD满足B，D点在AC的两侧，AB＝1，BC＝2，△ACD为正三角形，设∠ABC＝α．
(1)当α＝π3时，AC＝________
(2)当α变化时，四边形ABCD面积的最大值为________．
11．(2024·重庆质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请从下面三个条件中任选一个作为已知，并解答后面的问题：
①a-cb＝a-ba+c；②2ccosC＝
③S△ABC＝12sinC(a2＋b2－c2)
(1)求C；
(2)若D为AB的中点，且c＝2，CD＝3，求a，[B]