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第39天正余弦定理的应用（确保120分）
十年高考（新课标1卷）
考查阐述（考点、考向、交汇点等）
试题难度（低，中，高）
2015
正弦定理的应用
低
2016
余弦定理的应用
低
2017
正弦定理的应用
中
2018
正余弦定理的综合应用
中
2019
正余弦定理的综合应用
中
2020
余弦定理的应用
中
2021
余弦定理的应用
低
2022
余弦定理的应用
中
2023
余弦定理的应用
中
2024
正余弦定理的综合应用
中
命题热度预测2025
正余弦定理是求解三角问题的基本工具，历年高考均对其有不同方向的考查，有时会应用在解析几何离心率的计算问题上.预计2025年高考仍然会在该考点上进行考查，要引起足够的重视.
【2015山东春季卷】
1．在△中，，，，等于．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形
【分析】由和角正弦公式求函数值，再应用正弦定理求即可.
【详解】，
由正弦定理可知，，
∴.
故答案为：
【2016天津卷】
2．在中，若????，则=
A．1 B．2???????? C．3 D．4
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】余弦定理解三角形
【详解】余弦定理将各值代入
得
解得或(舍去)选A.
【2017新课标I卷】
3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】两角和与差的正弦公式、正弦定理、正弦定理解三角形
【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可
详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，
∴cosAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，
∴cosA=﹣sinA，
∴tanA=﹣1，
∵＜A＜π，
∴A=，
由正弦定理可得，
∵a=2，c=，
∴sinC==，
∵a＞c，
∴C=，
故选B．
点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
【2018新课标I卷】
4．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为．
【答案】.
【难度】0.65
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】方法一：由正弦定理可得，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，由为锐角，求得，，利用三角形面积公式即可解出.
【详解】［方法一］：【最优解】边化角
因为，由正弦定理得，
因为，所以．又因为，
由余弦定理，可得，
所以，即为锐角，且，从而求得，
所以的面积为.
故答案为：.
［方法二］：角化边
因为，由正弦定理得，即，又，所以，．又因为，
由余弦定理，可得，
所以，即为锐角，且，从而求得，
所以的面积为.
故答案为：.
【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积，该法是本题的最优解；
方法二：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积．
【2019新课标Ⅱ卷】
5．的内角的对边分别为.若，则的面积为.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】三角形面积公式、余弦定理解三角形
【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】由余弦定理得，
所以，
即
解得（舍去）
所以，
【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．
【2020新课标Ⅰ卷】
6．如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】余弦定理解三角形、棱锥的展开图
【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理计算出、，