试卷第=page11页，共=sectionpages33页
试卷第=page11页，共=sectionpages33页
第46天向量法解决平面几何问题
十年高考（新课标1卷）
考查阐述（考点、考向、交汇点等）
试题难度（低，中，高）
2015
未考查
2016
求线段最值
高
2017
求向量系数和最值
中
2018
未考查
2019
未考查
2020
未考查
2021
未考查
2022
求线段最值
高
2023
未考查
2024
未考查
命题热度预测2025
从历年高考来看，利用向量方法解决平面几何问题并不多见，但是向量作为工具在解决长度、夹角最值问题，证明平行、垂直关系发挥着重要作用，因此也应加以练习.
【2016四川卷】
1．在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】向量与几何最值、定点到圆上点的最值（范围）
【详解】试题分析：由已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又
，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.
【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．
【2017新课标III卷】
2．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则+的最大值为（???）
A．3 B．2 C． D．2
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】向量与几何最值
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.
设,
易得圆的半径，即圆C的方程是，
，若满足，
则，，所以，
设，即，点在圆上，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.
【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
【2022浙江卷】
3．设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】向量与几何最值
【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．
【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则,，设,于是，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：．
（证明线段垂直）
4．如图，在平行四边形中，点是的中点，点分别是的三等分点（，），设，．
(1)用，表示，；
(2)如果，，那么有什么位置关系?用向量方法证明你的结论．
【答案】(1)，
(2)垂直，证明见解析
【难度】0.85
【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律、用基底表示向量
【分析】（1）根据条件，结合图形，利用向量加法的三角形法则，即可求解；
（2）根据条件，利用向量数量积的运算律，即可求解.
【详解】（1）因为点是的中点，，，
所以，.
（2）垂直，证明如下，
由（1）知，
所以，得到.
（证明线段平行）
5．在中，点，分别在线段，上，，.求证：.
【答案】证明见解析
【难度】0.85
【知识点】向量在几何中的其他应用、用基底表示向量
【分析】设，，即可表示出，再由，，即可表示出，从而得到，即可得证；
【详解】证明：设，，则.
又，.所以，.
在中，，
所以，即与共线，故.
（求线段长度）【2025辽宁锦州期末】
6．已知，，，，点D在边上且，则长度为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】用基底表示向量、用向量解决线段的长度问题
【分析】利用向量数量积去求长度即可.
【详解】中，点D在边上且，
则
又，，，
则
，即长度为
故选：D
（求夹角）【组卷网原创题】
7．已知菱形中，，点为上一点，且，则的余弦值为.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示、坐标计算向量的模
【分析】建立如图平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示和数量积的定义与坐标表示计算即可求解.
【详解】设与交于点，以为坐标原点，
，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，
如图所