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第34天三角函数的性质及应用（确保120分）
十年高考（新课标1卷）
考查阐述（考点、考向、交汇点等）
试题难度（低，中，高）
2015
三角函数的周期性、单调性
中
2016
三角函数的最值
低
2017
三角函数的最值
中
2018
三角函数的周期性、最值
中
2019
正弦函数的综合性质
中
2020
正弦函数的综合性质
中
2021
三角函数的单调性
中
2022
三角函数的周期性、对称性
中
2023
三角函数的单调性、对称性
中
2024
函数图象的交点
中
命题热度预测2025
三角函数的图象与性质是高考必考内容，重点考察三角函数的周期性、对称性、单调性、零点、最值等，复习时要注重三角知识的工具性，以及三角知识的应用意识.预计2025年高考仍然会对本节知识点进行考查.
【2015安徽卷】
1．已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】诱导公式二、三、四、比较正弦值的大小、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）
【分析】根据给定条件，结合正弦函数性质求出，再利用正弦函数性质，诱导公式比较判断.
【详解】由的最小正周期为，得正数，
由，得，解得，
因此，
，，
，而，函数在上递减，
则，所以.
故选：A
【2016新课标II卷】
2．函数的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求含sinx（型）的二次式的最值
【详解】试题分析：因为，而，所以当时，取得最大值5，选B.
【考点】正弦函数的性质、二次函数的性质
【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当时，函数取得最大值.
【2017新课标II卷】
3．函数（）的最大值是．
【答案】1
【难度】0.65
【知识点】求cosx(型)函数的值域、求含cosx的二次式的最值
【详解】化简三角函数的解析式，
可得
，
由，可得，
当时，函数取得最大值1．
【2018新课标I卷】
4．已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求cosx（型）函数的最值、求余弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式
【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
【详解】根据题意有，
所以函数的最小正周期为，
且最大值为，故选B.
【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
【2019新课标Ⅰ卷】
5．关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数????????②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点????④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】正弦函数图象的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、求含sinx的函数的奇偶性、求sinx型三角函数的单调性
【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④????正确，故选C．
【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．
【2020新课标Ⅲ卷】
6．关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是．
【答案】②③
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦函数对称性的其他应用
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的