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第24天利用导数证明不等式（确保120分）
十年高考（新课标1卷）
考查阐述（考点、考向、交汇点等）
试题难度（低，中，高）
2015
利用导数证明不等式
高
2016
利用导数证明不等式
高
2017
利用导数证明不等式
高
2018
利用导数证明不等式
高
2019
利用导数证明不等式
高
2020
利用导数证明不等式
高
2021
利用导数证明不等式
高
2022
利用导数证明不等式
高
2023
利用导数证明不等式
高
2024
利用导数证明不等式
中
命题热度预测2025
利用导数证明不等式是高考中的热点问题，从历年高考来看，该考点通常出现在压轴解答题位置，难度较大，考查学生的综合素质和运算能力.预计2025年仍有可能出现在解答题位置.
【2015新课标Ⅰ卷】
1．设函数.
（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时.
【答案】（Ⅰ）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（Ⅱ）见解析
【难度】0.4
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式.
试题解析：（Ⅰ）的定义域为，.
当时,，没有零点；
当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，;
当时，.
故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.
由于，所以.
故当时，.
考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.
【2016新课标I卷】
2．已知函数有两个零点.
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2是的两个零点，证明：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析
【难度】0.15
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数证明不等式
【详解】试题分析：（Ⅰ）求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；（Ⅱ）借助（Ⅰ）的结论来证明，由单调性可知等价于，即．设，则．则当时，，而，故当时，．从而，故．
试题解析：（Ⅰ）．
（Ⅰ）设，则，只有一个零点．
（Ⅱ）设，则当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．
又，，取满足且，则
，
故存在两个零点．
（Ⅲ）设，由得或．
若，则，故当时，，因此在单调递增．又当时，所以不存在两个零点．
若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．
综上，的取值范围为．
（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在单调递减，所以等价于，即．
由于，而，所以
．
设，则．
所以当时，，而，故当时，．
从而，故．
【考点】导数及其应用
【名师点睛】对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简.解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.
【2017浙江卷】
3．已知数列满足：，
证明：当时，
（I）；
（II）；
（III）.
【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.
【难度】0.15
【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数证明不等式、等差数列与等比数列综合应用、数学归纳法
【分析】（I）用数学归纳法可证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，构造函数，利用函数的单调性可证；
（Ⅲ）由及，递推可得.
【详解】（Ⅰ）用数学归纳法证明：．
当时，．
假设时，，那么时，若，
则，矛盾，故．
因此，所以，因此．
（Ⅱ）由得，
．
记函数，
，
函数在上单调递增，所以，
因此，故．
（Ⅲ）因为，所以，
由，得，
所以，故．
综上，．
【名师点睛】本题主要考查利用数列不等式的证明，常利用以下方法：（1）数学归纳法；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明．
【2018新课标III卷】
4．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）切线方程是；（2）证明见解析．
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式
【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．
（2）方法一：当时，，令，只需证明即可．
【详解】（1），．
因此曲线在点处的切线方程是．
（2）［方法一］：【最优解】放缩
当时，．
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单