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第22天利用导数求解不等式恒成立问题（确保120分）
十年高考（新课标1卷）
考查阐述（考点、考向、交汇点等）
试题难度（低，中，高）
2015
不等式恒成立求参数范围
高
2016
不等式恒成立求参数范围
高
2017
不等式恒成立求参数范围
高
2018
未考查
2019
不等式恒成立求参数范围
高
2020
不等式恒成立求参数范围
高
2021
未考查
2022
不等式恒成立求参数范围
高
2023
不等式恒成立求参数范围
高
2024
不等式恒成立求参数范围
高
命题热度预测2025
利用导数解决不等式恒成立问题是高考中的大热门，历年全国高考包括地方自主命题省市对此的考查没有停止过，多以解答题出现，通常根据不等式求参数范围.预计2025年仍有可能对恒成立问题进行考查.
【2015山东】
1．设函数，其中.
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）的取值范围是.
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值点
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求，令
通过对的取值的讨论，结合二次函数的知识，由导数的符号得到函数的单调区间；（Ⅱ）根据（1）的结果这一特殊性，通过对参数的讨论确定的取值范围.
试题解析：函数的定义域为
令，
（1）当时，，在上恒成立
所以，函数在上单调递增无极值；
（2）当时，
①当时，，
所以，，函数在上单调递增无极值；
②当时，
设方程的两根为
因为
所以，
由可得：
所以，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
因此函数有两个极值点．
（3）当时，
由可得：
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
因此函数有一个极值点．
综上：
当时，函数在上有唯一极值点；
当时，函数在上无极值点；
当时，函数在上有两个极值点；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
（1）当时，函数在上单调递增，
因为
所以，时，，符合题意；
（2）当时，由，得
所以，函数在上单调递增，
又，所以，时，，符合题意；
（3）当时，由，可得
所以时，函数单调递减；
又
所以，当时，不符合题意；
（4）当时，设
因为时，
所以在上单调递增，
因此当时，
即：
可得：
当时，
此时，不合题意.
综上所述，的取值范围是
考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.
【2016全国】
2．已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.
试题解析：（I）的定义域为.当时，
，
曲线在处的切线方程为
（II）当时，等价于
设，则
，
（i）当，时，，故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得
.
由和得，故当时，，在单调递减，因此.
综上，的取值范围是
【考点】导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性
【名师点睛】求函数的单调区间的方法：
（1）确定函数y＝f（x）的定义域；
（2）求导数y′＝f′（x）；
（3）解不等式f′（x）0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式f′（x）0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
【2017全国】
3．设函数.
（I）讨论函数的单调性；
（II）当时，，求实数的取值范围.
【答案】（I）函数在和上单调递减，在上单调递增.
（II）.
【难度】0.15
【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题
【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间；（2）对分类讨论，当a≥1时，，满足条件；当时，取，当0＜a＜1时，取，.
试题解析：解（1）f’(x)=(1-2x-x2)ex
令f’(x)=0得x=-1-，x=-1+
当x∈（-∞，-1-）时，f’(x)0；当x∈（-1-，-1+）时，f’(x)0；当x∈（-1+，+∞）时，f’(x)0
所以f(x)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）单调递减，在（-1-，-1+）单调递增
(2)f(x)=(1+x)（1-x）ex
当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)=-xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1，
故h(x)≤1，