试卷第=page11页，共=sectionpages33页
试卷第=page11页，共=sectionpages33页
第15天函数与方程的综合应用（灵活多法）
十年高考（新课标1卷）
考查阐述（考点、考向、交汇点等）
试题难度（低，中，高）
2015
分段函数的零点
中
2016
根据方程解的个数求参数
低
2017
求方程解的个数
中
2018
根据方程解的个数求参数
中
2019
根据方程解的个数求参数
中
2020
未考查
2021
根据方程的解求参数
中
2022
根据方程的解求参数
低
2023
由零点个数求参数
中
2024
零点的唯一性
中
命题热度预测2025
函数与方程思想是高考命题中的一种重要思想，其重要性不言而喻，也是高考中的常客．考查内容比较固定，常与函数图象相结合．预计2025年高考对函数与方程的考查仍会出现．
1．【2015湖南】已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是．
【答案】
【解析】有两个零点，
有两个零点，即与的图象有两个交点，
由可得，或
①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意
②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意
③当时，函数单调递增，故不符合题意
④时，单调递增，故不符合题意
⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点
综上可得，或
故答案为：
2．【2016天津】已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是．
【答案】
【解析】试题分析：由函数在R上单调递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是．
3．【2017江苏】设是定义在R且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是
【答案】8
【解析】由于，则需考虑的情况，
在此范围内，且时，设，且互质，
若，则由，可设，且互质，
因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，
因此不可能与每个周期内对应的部分相等，
只需考虑与每个周期的部分的交点，
画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，
且处，则在附近仅有一个交点，
因此方程的解的个数为8．
4．【2018天津】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是．
【答案】
【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果．
解析：分类讨论：当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
令，
其中，
原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围．
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，
同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，
结合观察可得，实数的取值范围是．
5．【2019江苏】设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数．当时，，，其中．若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是．
【答案】．
【解析】当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可．
当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点．当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得．
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为．
6．【2021北京】已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是．
【答案】①②④
【解析】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确．
故答案为：①②④．
7．【2022北京】若函数的一个零点为，则；．
【答案】?????1?????
【解析】∵，∴
∴
故答案为：1，
8．【2023全国新Ⅰ卷】已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．
【答案】
【解析】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：．
9．【2024全国新Ⅱ卷】设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（