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第14天函数零点存在情况的判断（确保120分）
十年高考（新课标1卷）
考查阐述（考点、考向、交汇点等）
试题难度（低，中，高）
2015
根据零点个数求参数
中
2016
根据零点个数求参数
中
2017
根据零点个数求参数
中
2018
根据零点个数求参数
中
2019
判断零点的个数
低
2020
根据零点个数求参数
中
2021
根据零点个数求参数
高
2022
根据零点个数求参数
高
2023
根据零点个数求参数
高
2024
判断零点的个数
中
命题热度预测2025
函数零点问题是高考数学中的重要考点之一，尤其在近年来的高考试题中频繁出现．这类问题主要考查学生对函数性质的理解、方程求解能力以及数形结合的思想．预计2025年仍然会加强对函数零点问题的考查．
1．【2015天津】已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）
A．????B．????C．????D．
【答案】D
【解析】函数恰有4个零点，即方程，
即有4个不同的实数根，
即直线与函数的图象有四个不同的交点．
又，
做出该函数的图象如图所示，
由图得，当时，直线与函数的图象有4个不同的交点，
故函数恰有4个零点时，
b的取值范围是故选D．
2．【2016天津】已知函数（，且）在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是（）
A．????B．[，]????C．[，]{}????D．[，）{}
【答案】C
【解析】由在上单调递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的取值范围是，故选C．
3．【2017山东】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）
A．????B．
C．????D．
【答案】B
【解析】当时，，单调递减，且，单调递增，且，此时有且仅有一个交点；当时，，在上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需选B．
4．【2018全国】已知函数．若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是（）
A．[–1，0）????B．[0，+∞）????C．[–1，+∞）????D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C．
5．【2019全国】函数在的零点个数为（）
A.2????B.3????C.4????D.5
【答案】B
【解析】由，
得或，，
．
在的零点个数是3，
故选B．
6．【2020天津】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）
A．????B．
C．????D．
【答案】D
【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，
令，即与的图象有个不同交点．
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以．
综上，的取值范围为．
故选：D．
7．【2021天津】设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（）
A．????B．
C．????D．
【答案】A
【解析】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点．
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是．
8．【2022天津】设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为．
【答案】
【解析】设，，由可得．
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或．
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时．
综上所述，实数的取值范围是．
故答案为：．
9．【2023天津】设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围为．
【答案】
【解析】（1）当时，，
即，
若时，