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第3天基本不等式（确保120分）
十年高考（新课标1卷）
考查阐述（考点、考向、交汇点等）
试题难度（低，中，高）
2015
未考查
2016
未考查
2017
未考查
2018
未考查
2019
未考查
2020
2020全国II卷基本不等式求和的最大值
中
2021
2021全国I基本不等式求积的最大值
中
2022
未考查
2023
未考查
2024
未考查
命题热度预测2025
本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最值，或者和其他版块关联，难度中等偏上.从历年高考来看，全国卷很少单独考查基本不等式，常常在其它试题中作为工具求最值，预计2025年仍然应关注基本不等式使用条件、基本不等式求最值.
【2015福建】
1．若直线过点，则的最小值等于
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值
【详解】试题分析：∵直线（，）过点，∴．则，当且仅当时取等号．故答案为C．
考点：基本不等式.
【2015湖南】
2．若实数满足，则的最小值为
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】基本不等式求和的最小值
【详解】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.
考点：基本不等式
【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
【2020全国II卷】
3．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（????）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、求双曲线中的最值问题
【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
【2021新高考全国I卷】
4．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（????）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求积的最大值、椭圆定义及辨析
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
【2021全国乙卷】
5．下列函数中最小值为4的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求指数型复合函数的值域、求对数型复合函数的值域、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、基本不等式求和的最小值
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
【2024北京】
6．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】指数式与对数式的互化、基本不等式求和的最小值、比较对数式的大小
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
（消元法求最值）（2025北京西城期末）
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