第9节解三角形应用举例
【课标要求】会运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
测量中的几个有关术语
术语
名称
术语意义
图形表示
仰角与
俯角
在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫做，目标视线在水平视线下方的角叫做
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做.方位角θ的范围是
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α
例：
坡角与
坡比
坡面与水平面所成锐二面角叫坡角（θ为坡角）；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比（坡度），即i＝hl＝tan
知识点一测量距离问题
（1）（2025·绥化模拟）安邦河，在黑龙江省内有两条.一条属于松花江二级支流，位于黑龙江省中部，发源于小兴安岭支脉平顶山西坡；另一条属于松花江右岸支流，位于黑龙江省东部，发源于完达山支脉分水岗，自南向北流经双鸭山、集贤、桦川3个市县，在桦川县新城乡境内注入松花江.安邦河从双鸭山一中旁流过，其中一河段的两岸基本上是平行的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点A，B并测得AB＝a，选取对岸一目标点C并测得∠ABC＝α，∠BAC＝β，则该段河流的宽度为（）
A.asinαsinβ
C.asinαcosα
（2）如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且角B与角D互补，则AC的长为（）
A.7kmB.8km C.9kmD.6km
听课记录
规律方法
测量距离问题的类型及解法
（1）类型：①两点间可视但不可达；②两点间既不可视也不可达.
（2）解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
练1（1）（人A必修二P49例9改编）海上有A，B，C三个小岛，A，B相距53海里，从A岛望C和B成45°视角，从B岛望C和A成75°视角，则B，C两岛间的距离是海里；
（2）如图，某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在江的南岸，距离为103km；基站A，B建在江的北岸，测得∠ACB＝45°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，∠ADB＝75°，则基站A，B之间的距离为km.
知识点二测量高度问题
（1）（人A必修二P49例10改编）如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB＝（）
A.10m B.53m
C.5（3－1）m D.5（3＋1）m
（2）（2024·济宁统考）首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A（如图2）距离地面的高度AB（AB与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物PQ，测得PQ的高度为25.4米，并从P点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得A点，P点的仰角分别为75°和30°（其中B，M，Q三点共线），该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A距离地面的高度约为（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）（）
A.58米 B.60米
C.66米 D.68米
听课记录
规律方法
测量高度问题的三个注意点
（1）要理解仰角、俯角、方向（位）角的概念；
（2）在实际问题中，若遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形；
（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.
练2（1）（人A必修二P52习题8题改编）如图，为了测量河对岸的塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝10m，在点C和点D测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB为m；
（2）“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：10m），游客在乘坐舱P升到上半空时鸟瞰伦敦建筑BC，伦敦眼与建筑之间的距离AB为12（单位：10m），游客在乘坐舱P看建筑BC的视角为θ.当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时，视角θ＝30°，试求建筑BC的高度.（单位：10m）
知识点三