几何法求空间角与距离
几何法求空间角与距离主要是转化构造三角形，即把空间角转化为平面角，空间距离转化为平面距离，进而转化为求解三角形的边、角问题.
一、几何法求空间角
【例1】（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1，D，E分别为AC，BC的中点，则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为（）
A.33 B.
C.1010 D.
（2）如图，已知正四棱锥P-ABCD底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为（）
A.143 B.
C.156 D.
（3）如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝2，SA＝3，则二面角S-BC-A的大小为.
答案：（1）D（2）D（3）60°
解析：（1）设AB＝2，取A1B1的中点F，连接C1F，DF，DE，则B1F＝12A1B1，因为D，E分别为AC，BC的中点，所以DE∥AB，DE＝12AB，因为A1B1∥AB，A1B1＝AB，所以DE∥B1F，B1F＝DE，所以四边形DEB1F为平行四边形，所以DF∥B1E，所以∠C1DF为异面直线C1D与B1E所成的角或补角.因为AB⊥BC，AB＝BC＝AA1＝2，D，E分别为AC，BC的中点，所以DF＝B1E＝12＋22＝5，C1F＝12＋22＝5，C1D＝（2）2＋22＝6
（2）作PO⊥底面ABCD于O，连接OC，因为正四棱锥P-ABCD底面边长为2，故OC＝2，又侧棱长为4，故PO＝PC2－OC2＝14.又M为侧棱PC中点，取OC的中点F，连接MF，BF，则MF??12PO，且MF⊥平面ABCD，故∠MBF是BM与平面ABCD所成的角，且MF＝12PO＝142.又cos∠BCM＝BC2PC＝14.在△BCM中，由余弦定理有BM＝BC2＋CM2－2BC·CMcos∠BCM＝
（3）如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，因为△ABC，△SBC都是等边三角形，所以SB＝SC，AB＝AC，因此有AD⊥BC，SD⊥BC.所以∠ADS为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角.又因为BC＝2，所以SD＝SB2－BD2＝4－1＝3，AD＝AB2－BD2＝4－1＝3，而SA＝3，所以△SDA
点评几何法求空间角主要分为3个步骤：①作（找）角；②证明这个角就是要求的角；③计算.其中作（找）角是关键，对于异面直线所成的角，一般是通过平移一条直线直至与另一条直线相交，从而得到所求角的平面角；对于线面所成的角，一般是在直线上找一点，作平面的垂线，连接斜足与垂足得到直线在平面上的射影，直线与它在该平面上的射影所成的角就是所求角的平面角；对于平面与平面所成的角（二面角），一般可通过定义法、垂面法、垂线法等得到所求角的平面角.
1.在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是BC1与B1C的交点，则AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是（）
A.35 B.
C.32 D.
解析：C取BC的中点E，连接DE，AE，如图.依题意三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，设棱长为2，则AE＝3，DE＝1，因为D，E分别是BC1和BC的中点，所以DE∥CC1，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥AE，所以AD＝AE2＋DE2＝3+1＝2.因为AE⊥BC，AE⊥DE，BC∩DE＝E，所以AE⊥平面BB1C1C，所以∠ADE是AD与平面BB1C1C所成的角，所以sin∠ADE＝AEAD＝32，所以AD与平面
2.在正四棱锥P-ABCD中，M为棱AB上的点，且PA＝AB＝2AM，设平面PAD与平面PMC的交线为l，则异面直线l与BC所成角的正切值为.
答案：3
解析：连接CM并延长交DA的延长线于点N，则点N为平面PAD与平面PMC的公共点，所以l即为直线PN，因为BC∥AD，所以∠PND或其补角为异面直线l与BC所成角，取DA的中点O，连接OP，则OP⊥AD，设PA＝AB＝2AM＝2，则OA＝1，OP＝3，ON＝3，所以tan∠PND＝OPON＝33，所以异面直线l与BC所成角的正切值为
二、几何法求距离
【例2】（1）如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（）
A.23 B.25
C.2 D.4
（2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）
A.1 B.2
C.43 D.
答案：（1）A（2）B
解析：（1）如图，取PA的中点M，连接BM，CM，因为PB⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，所以PB⊥BC，又因为