第1节平面向量的概念及线性运算
【课标要求】（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义；（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义；（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.
知识点一平面向量的有关概念
名称
概念
向量
既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度（或称模）
零向量
长度为0的向量，记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
平行向量
方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量
相反向量
长度相等且方向相反的向量
结论对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜.
（1）下列说法正确的是（D）
A.若｜a｜＝｜b｜，则a＝b或a＝－b
B.若ma＝mb，m∈R，则a＝b
C.若a∥b，b∥c，则a∥c
D.若ma＝0，m∈R，则m＝0或a＝0
解析：（1）对于A，当a＝（1，0），b＝（0，1）时，满足｜a｜＝｜b｜，但a≠±b，故A错误；对于B，当a＝（1，1），b＝（1，2），m＝0时，满足ma＝mb＝0，但a≠b，故B错误；对于C，当a＝（1，1），b＝0，c＝（1，2）时，满足a∥b，c∥b，但不满足a∥c，故C错误；对于D，由ma＝0，得m＝0或a＝0，故D正确.故选D.
（2）（人A必修二P23习题13题改编）设e是单位向量，AB＝3e，CD＝－3e，｜AD｜＝3，则四边形ABCD是（B）
A.梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
解析：（2）因为AB＝3e，CD＝－3e，所以AB＝3e＝－CD，即AB∥CD，｜AB｜＝｜CD｜＝｜3e｜＝3｜e｜＝3，所以四边形ABCD是平行四边形，因为｜AD｜＝3，即｜AB｜＝｜AD｜，所以四边形ABCD是菱形.故选B.
变式设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a｜a｜＝b｜
A.a＝－b B.a∥b
C.a＝2b D.a∥b且｜a｜＝｜b｜
解析：C因为向量a｜a｜的方向与向量a方向相同，向量b｜b｜的方向与向量b方向相同，且a｜a｜＝b｜b｜，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A、B、D.当a＝2b时，a｜a｜＝
规律方法
向量有关概念的关键点
（1）向量定义的关键是方向和长度；
（2）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制；
（3）相等向量的关键是方向相同且长度相等；
（4）零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量平行；
（5）单位向量的关键是长度等于1个单位长度.
提醒单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量a｜a｜和
练1（1）如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和FC相等的是（D）
A.EF B.FB
C.DF D.ED
解析：（1）∵EF，FB，DF与FC方向不同，∴EF，FB，DF与FC均不相等.∵ED与FC方向相同，长度相等，∴ED＝FC.
（2）（人A必修二P23习题10题改编）若a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝5，则｜a＋b｜的最大值为8，最小值为2.
解析：（2）由结论可知，｜a＋b｜max＝8，｜a＋b｜min＝2.
知识点二平面向量的线性运算
向量
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
减法
求两个向量差的运算
a－b＝a＋（－b）
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，当λ＞0时，λa与a的方向相同；
当λ＜0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0
λ（μa）＝（λμ）a；
（λ＋μ）a＝λa＋μa；
λ（a＋b）＝λa＋λb
结论（1）若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝12（OA＋OB
（2）若G为△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝0；AG＝13（AB＋AC
角度1向量的线性运算
（1）（2025·黑龙江模拟）已知在梯形ABCD中，AB∥CD且满足AB＝2DC，E为AC的中点，F为线段AB上靠近点B的三等分点，设AB＝a，AD＝b，则EF＝（C）
A.23a－12b B.34a
C.512a－12b D.12a
解析：（1）如图，由题意可得AC＝AD＋DC＝AD＋12AB＝b＋12a，而EF＝EA＋AF＝12CA＋23AB＝－12（b＋12a）＋23a＝
（2）（2025·安徽模拟预测）已知O为等边△ABC的中心，若OA＝3a，AB＝2b，则AC＝（A）
A.－9a－2b B.－9a＋2b
C.9a＋2b D.9a－2b
解析：（2）设D为BC的