第7节对数与对数函数
【课标要求】（1）理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；（2）通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点；（3）了解指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数.
知识点一对数式的运算
概念
如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N?x＝logaN
负数和0没有对数
1的对数是0：loga1＝0
底数的对数是1：logaa＝1
对数恒等式：alogaN
运算
性质
loga（MN）＝logaM＋logaN
a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0
logaMN＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM（n∈R）
换底
公式
logab＝logcblogca（a＞0，且a≠1；b＞0；c＞
结论（1）换底公式的变形：①logab·logba＝1，即logab＝1logba（a，b均大于0且不等于1）；②logambn＝nmlogab（a，b均大于0且不等于1，m
（2）换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad（a，b，c均大于0且不等于1，d＞0）.
（1）（人A必修一P127习题3题改编）log535＋2log122－log5150－log514＝（
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：（1）原式＝log535－log5150－log514＋log12（2）2＝log535150×14＋log122＝log5125－1＝log553
（2）（2024·全国甲卷理15题）已知a＞1且1log8a－1loga4＝－5
解析：（2）根据题意有113log2a－12loga2＝－52，即3loga2－12loga2＝－52，设t＝loga2（a＞1），则t＞0，故3t－12t＝－52，得t＝16（
规律方法
对数运算的一般思路
（1）在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并；
（2）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算；
（3）ab＝N?b＝logaN（a＞0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
练1（1）lg25＋lg2×lg50＋（lg2）2＝（B）
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：（1）原式＝2lg5＋lg2×（1＋lg5）＋（lg2）2＝2lg5＋lg2＋lg2×lg5＋（lg2）2＝1＋lg5＋lg2（lg5＋lg2）＝1＋lg5＋lg2＝1＋lg10＝2.
（2）已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝（C）
A.25 B.5C.259 D.
解析：（2）由2a＝5，得a＝log25.又b＝log83＝log23log28＝13log23，所以a－3b＝log25－log23＝log253＝log453log42＝2log453＝
知识点二对数函数的图象与性质
1.对数函数的概念
函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，＋∞）.
2.对数函数的图象与性质
底数
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域：（0，＋∞）
值域：R
图象过定点（1，0），即恒有loga1＝0
当x＞1时，恒有y＞0；
当0＜x＜1时，恒有y＜0
当x＞1时，恒有y＜0；
当0＜x＜1时，恒有y＞0
在（0，＋∞）上是增函数
在（0，＋∞）上是减函数
3.反函数
指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，定义域与值域正好互换.
结论（1）对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（1，0），（a，1），（1a，－1）
（2）如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
角度1对数函数的图象及应用
（1）函数f（x）＝ax与g（x）＝log1ax（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的大致图象是（C
解析：（1）对于A，由指数函数的图象，可得a＞1，则0＜1a＜1，即函数g（x）在（0，＋∞）上单调递减，故A错误；对于B，由指数函数的图象，可得0＜a＜1，则1a＞1，即函数g（x）在（0，＋∞）上单调递