第7节对数与对数函数
【课标要求】（1）理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；（2）通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点；（3）了解指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数.
知识点一对数式的运算
概念
如果（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝，其中a叫做对数的，N叫做
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N?
负数和0没有对数
1的对数是：loga1＝
底数的对数是：logaa＝
对数恒等式：alog
运算
性质
loga（MN）＝
a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0
logaMN＝
logaMn＝（n∈R）
换底
公式
logab＝logcblogca（a＞0，且a≠1；b＞0；c＞
结论（1）换底公式的变形：①logab·logba＝1，即logab＝1logba（a，b均大于0且不等于1）；②logambn＝nmlogab（a，b均大于0且不等于1，m
（2）换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad（a，b，c均大于0且不等于1，d＞0）.
（1）（人A必修一P127习题3题改编）log535＋2log122－log5150－log514
A.1 B.2
C.3 D.4
（2）（2024·全国甲卷理15题）已知a＞1且1log8a－1loga4
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规律方法
对数运算的一般思路
（1）在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并；
（2）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算；
（3）ab＝N?b＝logaN（a＞0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
练1（1）lg25＋lg2×lg50＋（lg2）2＝（）
A.1 B.2
C.3 D.4
（2）已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝（）
A.25 B.5
C.259 D.
知识点二对数函数的图象与性质
1.对数函数的概念
函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是.
2.对数函数的图象与性质
底数
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域：
值域：R
图象过定点，即恒有loga1＝0
当x＞1时，恒有y＞0；
当0＜x＜1时，恒有y＜0
当x＞1时，恒有y＜0；
当0＜x＜1时，恒有y＞0
在（0，＋∞）上是
在（0，＋∞）上是
3.反函数
指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线对称，定义域与值域正好互换.
结论（1）对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（1，0），（a，1），（1a，－1）
（2）如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
角度1对数函数的图象及应用
（1）函数f（x）＝ax与g（x）＝log1ax（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的大致图象是（
（2）已知函数f（x）＝log2x，x0，3x，x≤0，关于x的方程f（
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规律方法
对数函数图象的识别及应用方法
（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项；
（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
练2（1）函数f（x）＝loga｜x｜＋1（0＜a＜1）的图象大致为（）
（2）已知函数f（x）＝loga（2x＋b－1）（a＞0且a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）
A.0＜a－1＜b＜1 B.0＜b＜a－1＜1
C.0＜b－1＜a＜1 D.0＜a－1＜b－1＜1
角度2对数函数的性质及应用
（1）（人A必修一P133例3改编）若a＝lg0.2，b＝log32，c＝log64，则关于a，b，c的大小关系，下列说法正确的是（）
A.c＞b＞a B.b＞c＞a
C.c＞a＞b D.a＞b＞c
（2）若loga4＜2a－1，则实数a的取值范围为.
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