第2节平面向量基本定理及坐标表示
【课标要求】（1）了解平面向量基本定理及其意义；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
知识点一平面向量基本定理
1.定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
提醒（1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一.
（1）（人A必修二P60复习参考题2（6）题改编）设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则给出下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB.其中可作为这个平行四边形所在平面的一个基底的是（）
A.①②B.①③ C.①④D.③④
（2）在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，DE＝EC，CF＝2BF，设AE＝m，AF＝n，则AC＝（）
A.34m＋12n B.12m
C.35m＋45n D.45m
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规律方法
1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
练1（1）已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设AD＝a，BE＝b，则BC＝（）
A.43a＋23b B.23a
C.23a－43b D.－23a
（2）如图，在四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M，N分别为OA，BC的中点，若MN＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z＝.
知识点二平面向量的坐标运算
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量作正交分解.
2.平面向量的坐标运算
（1）向量的加法、减法、数乘及向量的模
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝，｜a｜＝；
（2）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB＝，｜AB｜＝.
结论已知△ABC的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的重心G的坐标为（x1＋x2
（1）（人A必修二P31例6改编）已知a＝（5，－2），b＝（－4，－3），若a－2b＋3c＝0，则c＝（）
A.（133，83） B.（－133
C.（133，43） D.（－133
（2）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若CA＝λCE＋μDB（λ，μ∈R），则λ＋μ＝（）
A.65 B.
C.2 D.8
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规律方法
1.利用向量的坐标运算解题，主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程（组）进行求解.
2.向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
练2（1）已知OA＝（5，－2），OB＝（－4，－3），且OP＋AP＋BP＝0，其中O为坐标原点，则P点坐标为（）
A.（－9，－1） B.1
C.（1，－5） D.3
（2）设向量a＝（m，1），b＝（1，2），且｜a＋b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2，则m＝.
知识点三平面向量共线的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a∥b?.
提醒（1）a∥b的充要条件不能表示为x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能为0；（2）当且仅当x2y2≠0时，a∥b与x
（1）（人A必修二P31例7改编）已知平面向量a＝（－1，2），b＝（m，－3），若a＋2b与a共线，则m＝；
（2）已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），O为坐标原点，则AC与