第6节用空间向量研究线面位置关系及距离
【课标要求】（1）理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中的线面位置关系；（2）会求空间中点到直线以及点到平面的距离.
知识点一空间位置关系的向量表示
1.直线的方向向量与平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，称此向量a为直线l的方向向量；
（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量.
2.空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2
l1∥l2
u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2
l1⊥l2
u1⊥u2?u1·u2＝0
直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n
l∥α
u⊥n?u·n＝0
l⊥α
u∥n??λ∈R，使得u＝λn
平面α，β的法向量分别为n1，n2
α∥β
n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2
α⊥β
n1⊥n2?n1·n2＝0
如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上.已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
（1）证明：AP⊥BC；
证明：（1）以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
则O（0，0，0），A（0，－3，0），B（4，2，0），C（－4，2，0），P（0，0，4）.
于是AP＝（0，3，4），BC＝（－8，0，0），所以AP·BC＝（0，3，4）·（－8，0，0）＝0，所以AP⊥BC，即AP⊥BC.
（2）若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.
证明：（2）由（1）知AP＝5，又AM＝3，且点M在线段AP上，
所以AM＝35AP＝（0，95，
又BA＝（－4，－5，0），
所以BM＝BA＋AM＝（－4，－165，125
则AP·BM＝（0，3，4）·（－4，－165，125）＝
所以AP⊥BM，即AP⊥BM，
又根据（1）的结论知AP⊥BC，
且BC∩BM＝B，BC，BM?平面BMC，
所以AP⊥平面BMC，
于是AM⊥平面BMC.
又AM?平面AMC，
故平面AMC⊥平面BMC.
规律方法
利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤
练1在直三棱柱
ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.
证明：（1）B1D⊥平面ABD；
证明：（1）以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B（0，0，0），D（0，2，2），B1（0，0，4），设BA＝a，则A（a，0，0），
所以BA＝（a，0，0），BD＝（0，2，2），B1D＝（0，2，－
B1D·BA＝0，B1D·BD＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1
又BA∩BD＝B，BA，BD?平面ABD，因此B1D⊥平面ABD.
（2）平面EGF∥平面ABD.
证明：（2）由（1）知，E（0，0，3），G（a2，1，4），F（0，1，4
则EG＝（a2，1，1），EF＝（0，1，1），B1D·EG＝0＋2－2＝0，B1D·EF＝0＋2
即B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，EG，EF?平面EGF，因此B1D⊥平面EGF.
结合（1）可知平面EGF∥平面ABD.
知识点二空间距离
角度1点到直线的距离
设AP＝a，直线l的一个单位方向向量为u，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝（a·u）u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝｜AP｜2-
（1）已知直线l过定点A（2，3，1），且n＝（0，1，1）为其一个方向向量，则点P（4，3，2）到直线l的距离为（D）
A.2 B.2
C.102 D.
解析：（1）PA＝（－2，0，－1），｜PA｜＝5，｜PA·n｜｜n｜＝22，则点P到直线l的距离
（2）（人A选一P34例6（1）改编）在空间直角坐标系中，已知A（1，－1，0），B（4，3，0），C（5，4，－1），则点A到直线BC的距离为（D）
A.3 B.58
C.2173 D
解析：（2）因为A（1，－1，0），B（4，3，0），C（5，4，－1），所以BA＝（－3，－4，0），BC＝（1，1，－1），｜BA｜＝5，｜BC｜＝3，所以cos＜BA，BC＞＝BA·BC｜BA｜·｜BC｜＝－7315，所以sin＜BA，BC＞＝1－cos2＜BA，BC＞＝1－4975＝
规律方法
点线距的求解步骤
直线的单位方向向量a→所求点到直线上一点的向量PP及其在直线的方向向量a上的投影向量→代入公式
角度2点到