第6节用空间向量研究线面位置关系及距离
【课标要求】（1）理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中的线面位置关系；（2）会求空间中点到直线以及点到平面的距离.
知识点一空间位置关系的向量表示
1.直线的方向向量与平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，称此向量a为直线l的方向向量；
（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量.
2.空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2
l1∥l2
u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2
l1⊥l2
u1⊥u2?＝0
直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n
l∥α
u⊥n?u·n＝0
l⊥α
u∥n??λ∈R，使得u＝λn
平面α，β的法向量分别为n1，n2
α∥β
n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2
α⊥β
n1⊥n2?n1·n2＝0
如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上.已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
（1）证明：AP⊥BC；
（2）若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.
规律方法
利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤
练1在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.
证明：（1）B1D⊥平面ABD；
（2）平面EGF∥平面ABD.
知识点二空间距离
角度1点到直线的距离
设AP＝a，直线l的一个单位方向向量为u，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝｜AP｜2
（1）已知直线l过定点A（2，3，1），且n＝（0，1，1）为其一个方向向量，则点P（4，3，2）到直线l的距离为（）
A.2 B.2
C.102 D.
（2）（人A选一P34例6（1）改编）在空间直角坐标系中，已知A（1，－1，0），B（4，3，0），C（5，4，－1），则点A到直线BC的距离为（）
A.3 B.58
C.2173 D
听课记录
规律方法
点线距的求解步骤
直线的单位方向向量a→所求点到直线上一点的向量PP及其在直线的方向向量a上的投影向量→代入公式
角度2点到平面的距离
1.点到平面的距离：
已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此PQ＝AP·n｜n｜
2.直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离.
（苏教选二P40例10改编）已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.
（1）求点D到平面PEF的距离；
（2）求直线AC到平面PEF的距离.
规律方法
利用向量法求点B到平面α的距离的步骤
练2〔多选〕（人A选一P35练习2题改编）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点，则（）
A.点A1到直线B1E的距离为2
B.直线FC1到直线AE的距离为2
C.点B到平面AB1E的距离为2
D.直线FC1到平面AB1E的距离为2
提示：完成课后作业第七章第6节