第5课时离散型随机变量的分布列和数字特征
[考试要求]1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．2．理解并会求离散型随机变量的数字特征．
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
(2)离散型随机变量分布列的性质
①pi≥0，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝1．
3．两点分布
如果P(A)＝p，则P(A)＝1－p，那么X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．
4．离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝
i=1
为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝为随机变量X的方差，可以用来度量随机变量X的取值与其均值E(X)的偏离程度，并称DX为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．(a，b为常数)
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)
[常用结论]
1．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
2．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－(E(X))2．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1． ()
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的． ()
(3)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究． ()
(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小． ()
[答案](1)×(2)√(3)√(4)√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第三册P60练习T2(1)改编)抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数减第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是()
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚1点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
D[第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5．
故选D．]
2．(人教A版选择性必修第三册P60练习T3改编)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝a，那么a＝________．
13[由题意可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝2a＋a＝1，解得a＝1
3．(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)已知随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P
1
1
1
若Y＝2X＋3，则E(Y)的值为________．
73[E(X)＝－12+
则E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝7
4．(人教A版选择性必修第三册P69例5改编)已知离散型随机变量X的取值为有限个，E(X)＝72，D(X)＝3512，则E(X
916[因为E(X)＝72，D(X)＝
由D(X)＝E(X2)－(E(X))2，
得E(X2)＝D(X)＋(E(X))2＝3512+7
考点一分布列的性质
[典例1](1)已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝k24，k＝2，4，5，6，7，则P(1＜X≤
A．1124 B．7
C．23 D．
(2)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
－1
0
1
P
1
1－q
q－q2
则q＝________．
(1)A(2)22[(1)由题意得P(1＜X≤5)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝2+4+524＝
(2)由离散型随机变量分布列的性质得
12+1?q+q?q2=1
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
[跟进训练]
1．(1)(多选)设离散型随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
2
3
P
1
1
1
1
2
则下列各式正确的是()
A．P(X＝1.5)＝0 B．P(X＞－1)＝9
C．P(2＜X＜4)＝1 D．P(X＜0)＝0
(2