第7节向量法求空间角
【课标要求】能用向量法解决异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.
知识点一异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝｜cos＜u，v＞｜＝u·v｜
提醒两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角的范围为（0，π），所以公式中要加绝对值.
（1）（人A选一P36例7改编）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角均为60°，则BD1与AC所成角的余弦值为（）
A.24 B.
C.22 D.
（2）（2025·开封模拟）在如图所示的圆台中，四边形ABCD为其轴截面，AB＝2CD＝4，母线长为3，P为下底面圆周上一点，异面直线AD与OP（O为下底面圆心）所成的角为π3，则CP2的大小为（
A.7－23
B.7－23或7＋23
C.19－43
D.19－43或19＋43
听课记录
规律方法
用向量法求异面直线所成角的步骤
（1）坐标向量法
（2）基向量法：在一些不适合建立空间直角坐标系的题目中，一般先把直线的方向向量a，b用基向量表示，再由公式cos＜a，b＞＝a·b｜a||b｜求得cos
练1（1）如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为（）
A.15 B.
C.35 D.
（2）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F在棱AD上，且AF＝λAD，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为3210，则λ＝
知识点二直线与平面所成的角
如图所示，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝｜cos＜u，n＞｜＝.
提醒直线与平面所成角的范围为0，π2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]
（2023·全国甲卷理18题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1.
（1）证明：A1C＝AC；
（2）已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
规律方法
利用空间向量求线面角的解题步骤
提醒线面角的正弦值对应向量夹角的余弦值的绝对值.
练2（2025·开封模拟）如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，圆柱OQ的侧面积为63π，点P在圆柱OQ的下底面圆周上，且△OPB是边长为3的等边三角形.
（1）若G是DP的中点，求证：AG⊥BD；
（2）若DG＝2GP，求GB与平面ABCD所成角的正弦值.
知识点三二面角（平面与平面的夹角）
1.平面与平面的夹角
平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角，如图1.若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝.
2.二面角
二面角α-l-β为θ或π－θ，设二面角大小为φ，则｜cosφ｜＝cosθ＝，如图2、3.
提醒注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的范围为[0，π]，两个平面的夹角的范围为［0，π2］
（2024·全国甲卷理19题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，EF∥AD，BC∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，ED＝10，FB＝23，M为AD的中点.
（1）证明：BM∥平面CDE；
（2）求二面角F-BM-E的正弦值.
规律方法
向量法求二面角（平面与平面的夹角）的方法
（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；
（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
练3（人A选一P37例8改编）如图，在四面体ABCD中，AB＝AC＝AD＝BC＝BD，BC⊥BD，E，F分别为AB，AC的中点.
（1）证明：平面ACD⊥平面BCD；
（2）求平面BDF与平面CDE夹角的余弦值.
提示：完成课后作业第七章第7节