三角形的角平分线、中线、高线问题
三角形的角平分线、中线、高线问题是近几年新高考的热点内容，主要与正、余弦定理相结合，求边、角、面积等.
一、三角形的角平分线问题
【例1】在△ABC中，AB＝2，AC＝4，角A为钝角，△ABC的面积为23.
（1）若D是BC的中点，求AD的长度；
（2）若E是边BC上一点，AE为△ABC的角平分线，求AE的长度.
解：（1）∵AB＝2，AC＝4，△ABC的面积为23，
∴S△ABC＝12AB·AC·sin∠BAC＝12×2×4×sin∠BAC＝2
∴sin∠BAC＝32，又∠BAC为钝角，∴∠BAC＝2
∵D是BC的中点，∴AD＝12（AB＋AC
∴AD2＝14（AB＋AC
又AB＝2，AC＝4，∠BAC＝2π
∴｜AD｜2＝4+16+2AB·AC
∴｜AD｜＝3，
即AD＝3.
（2）∵AE为△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE＝12∠BAC＝π
∵S△ABC＝S△ABE＋S△ACE，
∴12AB·AE·sinπ3＋12AC·AE·sinπ3
即12×2AE×32＋12×4AE×32
∴AE＝43
点评角平分线是平面几何的一个重要特征，解题方法主要有两种，一是利用角平分线定理，找边之间的关系；二是角平分线把三角形分成两个三角形，利用等面积法求解.
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3tanAtanB－tanA－tanB＝3，角C的平分线CD交AB于D.
（1）求证：3CD＝1CA＋
（2）若CD＝CB＝2，求△ABC的面积.
解：（1）证明：∵3tanAtanB－tanA－tanB＝3，
∴3（tanAtanB－1）＝tanA＋tanB，
∴tanA＋tan
∴tan（A＋B）＝－3，∴tan∠ACB＝3，
∵0＜∠ACB＜π，∴∠ACB＝π3
∵CD为角C的平分线，S△ABC＝S△ACD＋S△BCD，
∴12·CA·CB·sin∠ACB＝12·CD·CA·sin∠ACD＋12·CD·CB·sin
∴3CA·CB＝CD·CB＋CD·CA，
即3CD＝1CA＋
（2）将CD＝CB＝2代入3CD＝1CA＋
可得CA＝3＋1，
∴S△ABC＝12×CA×CB×sin∠ACB＝12×2×（3＋1）×32
二、三角形的中线问题
【例2】（2023·新高考Ⅱ卷17题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD＝1.
（1）若∠ADC＝π3，求tanB
（2）若b2＋c2＝8，求b，c.
解：（1）在△ABC中，因为S△ABC＝3，D为BC的中点，所以S△ADC＝12S△ABC＝3
又因为∠ADC＝π3，AD＝1
所以S△ADC＝12×1×DC×sinπ3＝
解得DC＝2，所以BD＝2.
在△ABD中，由余弦定理，得
AB＝B
＝22＋1
所以cosB＝AB2＋BD
又0＜B＜π3
所以sinB＝1－cos
所以tanB＝211457
（2）法一依题意，得AD＝12（AB＋AC
所以14（AB＋AC）2＝1，即AB2＋2AB·AC＋AC2
所以c2＋2cbcos∠BAC＋b2＝4.
又b2＋c2＝8，所以bccos∠BAC＝－2.
因为S△ABC＝12bcsin∠BAC＝3
所以bcsin∠BAC＝23，
所以tan∠BAC＝－3.
因为0＜∠BAC＜π，所以∠BAC＝2π
由12bcsin2π3＝3，b
法二因为D为BC的中点，所以BD＝DC.
因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＝－cos∠ADC，
则在△ABD与△ADC中，由余弦定理的推论，得AD2＋
得1＋BD2－c2＝－（1＋BD2－b2），
所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝3，所以a＝23.
在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos∠BAC＝b2＋c2－a22bc＝8－122bc＝－2bc，所以S△ABC＝12bcsin
解得bc＝4.
则由bc=4，b2＋c
点评三角形的中线问题的解题策略：①可根据两角互补或面积相等用正、余弦定理建立方程求解；②采用向量法使问题简化：在△ABC中，若D为边BC上的中点，则AD＝12（AB＋AC），两边平方即可得到三角形边长之间的关系
记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3a－csinB＝3bcosC.
（1）求角B的大小；
（2）若b＝3，D为AC的中点，BD＝2，求△ABC的面积.
解：（1）因为3a－csinB＝3bcosC，
所以3sin（B＋C）－sinCsinB＝3sinBcosC，
即3cosBsinC＝sinCsinB，因为sinC≠0，所以tanB＝3，
又B∈（0，π），所以B＝π3
（2）由