第6节用空间向量研究线面位置关系及距离
一、单项选择题
1.若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（）
A.（2，2，6） B.（1，2，3）
C.（3，1，1） D.（－3，0，1）
2.已知平面α的一个法向量为n＝（－1，0，－1），点A（3，3，0）在平面α内，则平面外一点P（－2，1，4）到平面α的距离为（）
A.103 B.
C.2 D.1
3.（2025·济南模拟）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为（）
A.36 B.
C.233 D
4.若四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB＝2，OC＝3，点D在棱OC上，且OC＝3OD，点G为△ABC的重心，则点G到直线AD的距离为（）
A.22 B.
C.33 D.
5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2AB＝2，E为AB的中点，F为线段BB1上一点，且A1C⊥EF，则B1FFB
A.10 B.12
C.15 D.20
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（）
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
7.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，若AB＝2，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（）
A.（1，1，1） B.2
C.22，22
二、多项选择题
8.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝23A1D，AF＝13AC，则下列选项正确的为（
A.EF∥BD1
B.EF⊥A1D
C.EF＝2
D.点F到平面ABD1的距离为2
9.（2025·梅州模拟）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含端点）.若D1M⊥MN，则下列命题正确的是（）
A.MN⊥A1M
B.MN⊥平面D1MC
C.线段BN长度的最大值为3
D.三棱锥C1-A1D1M的体积不变
三、填空题
10.平面α的法向量为n＝（1，－1，2），AB＝（2，0，－1），那么直线AB与平面α的位置关系是.
11.（2025·黄冈模拟）已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E是AB的中点，F是AD上靠近A的四等分点，则点B到平面GEF的距离为.
12.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）.若AM⊥MP，则点P在圆锥底面上形成的轨迹的长度为.
四、解答题
13.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点.
（1）求证：EF⊥CD；
（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论.
14.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
（1）求点B到直线AC1的距离；
（2）判断直线FC与平面AEC1的位置关系；如果平行，求直线FC到平面AEC1的距离.
15.〔多选〕（2025·辽宁适应性考试）在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
（1）过点P0（x0，y0，z0），且以v＝（a，b，c）（abc≠0）为方向向量的空间直线l的方程为x－x0a＝
（2）过点P（x0，y0，z0），且以v＝（m，n，t）（mnt≠0）为法向量的平面α的方程为m（x－x0）＋n（y－y0）＋t（z－z0）＝0.
现已知平面α：x＋2y＋3z＝6，l1：2x－y=1，3y－2z=1，l2：x＝y＝2－z，l
A.l1∥αB.l2∥αC.l3∥αD.l1⊥α
16.已知三棱锥S-ABC中，SA＝SB＝SC＝1，且SA，SB，SC两两垂直，P是三棱锥S-ABC外接球球面上一动点，则点P到平面ABC的距离的最大值为.