第4节函数的对称性
一、单项选择题
1.下列函数的图象中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A.y＝tanx B.y＝x－1
C.y＝x3 D.y＝ln｜x｜
2.已知函数y＝f（x）的图象经过点P（1，－2），则函数y＝－f（－x）的图象必过点（）
A.（－1，2） B.（1，2）
C.（－1，－2） D.（－2，1）
3.（2025·贵州一模）函数f（x）＝x+1x的图象的对称中心为（
A.（0，0） B.（0，1）
C.（1，0） D.（1，1）
4.（2025·湛江一模）已知函数y＝f（1－x）的图象与函数y＝f（2＋x）的图象关于直线x＝m对称，则m＝（）
A.3 B.3
C.－1 D.－1
5.（2025·九江模拟）设函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋2，且f（1＋x）＋f（1－x）＝2，则ab＝（）
A.－1 B.2
C.－3 D.4
6.（2025·宝鸡一模）已知函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）＝f（2－x）成立，且当x≥1时，f（x）＝2x－1，则（）
A.f（13）＜f（32）＜f（
B.f（23）＜f（32）＜f（
C.f（23）＜f（13）＜f（
D.f（32）＜f（23）＜f（
7.（2025·日照调研）已知f（x）是定义域为R的偶函数，f（5.5）＝4，g（x）＝（x－1）f（x），若g（x＋1）是偶函数，则g（－0.5）＝（）
A.－6 B.－4
C.4 D.6
二、多项选择题
8.（2025·湖北七市州调研）关于函数f（x）＝sinx＋1sinx有如下四个命题，其中正确的是（
A.f（x）的图象关于y轴对称
B.f（x）的图象关于原点对称
C.f（x）的图象关于直线x＝π2
D.f（x）的图象关于点（π，0）对称
9.（2025·恩施模拟）定义在R上的函数f（x），f（x＋1）的图象关于点（－1，0）对称，恒有f（x－1）＝f（3－x），且f（x）在[1，2]上单调递减，则下列结论正确的是（）
A.直线x＝1是f（x）的图象的对称轴
B.周期T＝2
C.函数f（x）在[4，5]上单调递增
D.f（5）＝0
三、填空题
10.（2025·临沂一模）写出一个同时具有性质①②③的函数f（x）＝.
①f（x）是定义域为R的奇函数；②f（1＋x）＝f（1－x）；③f（1）＝2.
11.（2025·南通一模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f（－x）＝4x2＋2，设g（x）＝f（x）－2x2，若g（x）的最大值和最小值分别为M和m，则M＋m＝.
12.（2025·赣州联考）已知函数f（x）在［32，＋∞）上单调递增，满足对任意x∈R，都有f（32－x）＝f（x＋32），若f（x）在区间（a，2a－1）上单调递减，则实数a
四、解答题
13.（2025·沧州模拟）已知函数f（x）＝log2｜x－2｜＋x2－4x.
（1）判断并证明函数f（x）的对称性；
（2）求f（x）的单调区间.
14.我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x＋a）－b为奇函数.
（1）判断函数f（x）＝2x－12x+1的奇偶性，并求函数g（x
（2）类比上述推广结论，写出“函数y＝f（x）的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为偶函数”的一个推广结论.
15.〔多选〕（2025·大连质检）若定义在R上的减函数y＝f（x－2）的图象关于点（2，0）对称，且g（x）＝f（x）＋1，则下列结论一定成立的是（）
A.g（2）＝1
B.g（0）＝1
C.不等式f（x＋1）＞f（1－2x）的解集为（－∞，0）
D.g（－1）＋g（2）＜2
16.（2025·武汉3月测试）已知函数f（x）＝x3－32x2＋3x－14，它的图象的对称中心为；f（12025）＋f（22025）＋f（32