第1节平面向量的概念及线性运算
一、单项选择题
1.下列命题中正确的是（）
A.｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜?a与b方向相反
B.平行向量不一定是共线向量
C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反
D.如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的方向一定相同
2.如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a＋b＋c可表示为（）
A.2e1－3e2 B.3e1－2e2
C.2e1＋3e2 D.3e1＋2e2
3.已知平面内一点P及△ABC，若PA＋PB＋PC＝AB，则点P与△ABC的位置关系是（）
A.点P在线段AB上 B.点P在线段BC上
C.点P在线段AC上 D.点P在△ABC外部
4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且EO＝2AE，则EB＝（）
A.16AB－56AD B
C.56AB－16AD D
5.（2025·银川模拟）已知向量a，b不共线，且c＝xa＋b，d＝a＋（2x－1）b，若c与d方向相反，则实数x的值为（）
A.1 B.－1
C.1或－12 D.－1或－
6.在正六边形ABCDEF中，对角线BD，CF相交于点P.若AP＝xAB＋yAF，则x＋y＝（）
A.2B.52 C.3D.
7.（2025·泰州模拟）已知非零向量a，b满足｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜，则（）
A.｜a＋b｜＞｜b｜ B.｜a－b｜＜｜a｜
C.｜a＋b｜＞｜a－b｜ D.（a＋b）·（a－b）≥0
二、多项选择题
8.已知4AB－3AD＝AC，则下列结论正确的是（）
A.A，B，C，D四点共线 B.C，B，D三点共线
C.｜AC｜＝｜DB｜ D.｜BC｜＝3｜DB｜
9.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）
A.若AM＝12AB＋12AC，则点
B.若AM＝2AB－AC，则点M在边BC的延长线上
C.若AM＝－BM－CM，则点M是△ABC的重心
D.若AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，则△MBC的面积是△ABC面积的
三、填空题
10.设a，b是两个非零且不共线的向量，OA＝a＋b，OB＝a＋2b，OC＝λa＋μb.若A，B，C三点共线，则λ，μ的一组可能的值为.
11.如图，O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为.
12.（2025·镇江中学开学考试）若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足｜OB－OC｜＝｜（OB－OA）＋（OC－OA）｜，则△ABC的形状为.
四、解答题
13.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设AB＝a，AC＝b.
（1）试用a，b表示BC，AD，BE；
（2）证明：B，E，F三点共线.
14.（2025·淮安模拟）经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB（m＞0，n＞0）.
（1）证明：1m＋1n
（2）求m＋n的最小值.
15.（2025·鄂南模拟）如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D（点O与点D不重合），若OC＝λOA＋μOB（λ，μ∈R），则λ＋μ的取值范围是（）
A.（0，1） B.（1，＋∞）
C.（1，2] D.（－1，0）
16.〔多选〕设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f（a）.若映射f：V→V满足：对所有a，b∈V及任意实数λ，μ都有f（λa＋μb）＝λf（a）＋μf（b），则f称为平面M上的线性变换，现有如下说法，其中正确的是（）
A.设f是平面M上的线性变换，a，b∈V，则f（a＋b）＝f（a）＋f（b）
B.若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f（a）＝a＋e，则f是平面M上的线性变换
C.对a∈V，设f（a）＝－a，则f是平面M上的线性变换
D.设f是平面M上的线性变换，a∈V，则对任意实数k均有f（ka）＝kf（a）