第3节不等式及其性质
【课标要求】（1）理解用作差法比较两个实数大小的理论依据；（2）理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
知识点一比较两个数（式）的大小
1.作差法a－b0?ab
2.作商法a＞b
（1）（2025·晋城一模）若实数m，n，p满足m＝4e35，n＝5e23，p＝18e2
A.p＜m＜n B.p＜n＜m
C.m＜p＜n D.n＜p＜m
（2）〔多选〕（人A必修一P43习题3题改编）下列不等式中正确的是（）
A.x2－2x＞－3（x∈R）
B.a3＋b3≥a2b＋ab2（a，b∈R）
C.a2＋b2＞2（a－b－1）
D.若a＞b＞0，则a2－b2＞1a－
听课记录
规律方法
比较大小的常用方法
（1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
（2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
（3）构造函数法：利用函数的单调性比较大小.
练1（1）若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.c＜a＜b D.b＜a＜c
（2）（2025·石家庄调研）已知a＝12e34，b＝e，c＝e+1
A.a＜b＜c B.b＜a＜c
C.b＜c＜a D.c＜b＜a
知识点二不等式的基本性质
性质1对称性：a＞b?；
性质2传递性：a＞b，b＞c?；
性质3可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；
性质4可乘性：a＞b，c＞0?；a＞b，c＜0?；
性质5同向可加性：a＞b，c＞d?；
性质6同向同正可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?；
性质7同正可乘方性：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，n≥2）.
结论（1）倒数性质：①a＞b，ab＞0?1a＜1b；②a＜0＜b?1a＜1b；③a＞b＞0，d＞c＞0?
（2）分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则
①真分数性质：ba＜b＋ma＋m；ba＞b
②假分数性质：ab＞a＋mb＋m；ab＜a
（1）（人A必修一P43习题8题改编）已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（）
A.若a＞b，c＜d?a＋c＞b＋d
B.若a＞b，c＞d?ac＞bd
C.若bc－ad＞0，ca－db＞0?b
D.若a＞b＞0，c＞d＞0?ad＞
（2）（2025·杭州质检）若a＞b，则（）
A.a2＞b2 B.ab＜
C.1a＜1b D.a｜a｜＞b｜
听课记录
规律方法
判断不等式的常用方法
（1）直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；
（2）利用特殊值法排除错误答案；
（3）利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.
练2（1）〔多选〕（人B必修一P84复习题8题改编）已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是（）
A.1a－c＞1b－c B.
C.a2＞b2 D.ab＋bc＞0
（2）能够说明“若ax＞ay，a＜0，则x＞y”是假命题的一组整数x，y的值依次为
提能点
不等式性质的综合应用
（1）（人A必修一P43习题5题改编）已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则xy的取值范围是，3x＋2y的取值范围是；
（2）（2025·杭州模拟）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势.民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为平方米.
听课记录
变式若将本例（1）条件改为“－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3”，则3x＋2y的取值范围为.
规律方法
利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点
（1）必须严格运用不等式的性质；
（2）多次运用不等式的性质有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
练3（1）（人B必修一P65例2（3）改编）已知2＜x＜4，－3＜y＜－1，则xx－2y
A.（110，14） B.（14
C.（15，1） D.（23，
（2）（2025·通州一模）已知1＜a＜b＜3，则a－b的取值范围是，ab的取值范围是
提示：完成课后作