第2节平面向量基本定理及坐标表示
一、单项选择题
1.若向量a＝（2，1），b＝（－1，2），c＝（0，52），则c可用向量a，b表示为（
A.c＝12a＋b B.c＝－12a
C.c＝32a＋12b D.c＝32a
2.（2025·汕头一模）已知平面向量a＝（3，4），b＝（m，3）.若向量a－2b与a＋b共线，则实数m＝（）
A.3B.94 C.32D
3.（2025·湖州模拟）已知向量a与b的方向相反，b＝（－2，3），｜a｜＝213，则a＝（）
A.（－6，4） B.（－4，6）
C.（4，－6） D.（6，－4）
4.（2024·双鸭山开学考试）在△ABC中，已知A（2，3），B（8，－4），点G（2，－1）在中线AD上，且AG＝2GD，则点C的坐标是（）
A.（－4，2） B.（－4，－2）
C.（4，－2） D.（4，2）
5.（2025·阳泉一模）如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC＝λAM＋μBN，则λ＋μ＝（）
A.85 B.5
C.1 D.－1
6.如图1，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口.六边形开口可记为图2中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，设AB＝a，AF＝b，若BM＝MC，EF＝3EN，则MN＝（）
A.56a＋76b B.－56a
C.－35a＋16b D.35a
7.（2025·临川模拟）在△ABC中，点D，E是线段BC上的两个动点，且AD＋AE＝xAB＋yAC，则xy的最大值为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多项选择题
8.已知平面向量a＝（1，－2），b＝（2，1），c＝（－4，－2），则下列结论正确的是（）
A.｜c｜＝2｜a｜
B.向量c与向量b共线
C.若c＝λ1a＋λ2b（λ1，λ2∈R），则λ1＝0，λ2＝－2
D.对同一平面内任意向量d，都存在实数k1，k2，使得d＝k1b＋k2c
9.如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若AP＝λAB，OC＝μOA＋3μOB，则（）
A.P为线段OC的中点时，μ＝1
B.P为线段OC的中点时，μ＝1
C.无论μ取何值，恒有λ＝3
D.存在μ∈R，λ＝1
三、填空题
10.（2025·南京模拟）已知点A（1，3），B（4，－1），则与向量AB同方向的单位向量的坐标是.
11.（2025·曲靖模拟）已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，AM＝mAB，AN＝nAD（mn≠0），若MN∥BE，则nm＝
12.（2025·河北部分学校联考）若{α，β}是平面内一个基底，向量γ＝xα＋yβ（x，y∈R），则称（x，y）为向量γ在基底{α，β}下的坐标.现已知向量a在基底{p，q}，p＝（1，－1），q＝（2，1）下的坐标为（－2，2），则a在基底{m，n}，m＝（－1，1），n＝（1，2）下的坐标为.
四、解答题
13.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，B，C在第一象限，｜OA｜＝2｜AB｜＝2，∠OAB＝2π3，BC＝（－1，
（1）求点B，C的坐标；
（2）判断四边形OABC的形状，并求出其周长.
14.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝（2sin（A＋C），3），n＝（cos2B，2cos2B2－1），且m∥n.
（1）求角B的大小；
（2）若b＝1，求△ABC面积的最大值.
15.已知对任意平面向量AB＝（x，y），把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP＝（xcosθ－ysinθ，xsinθ＋ycosθ）.如图所示，顶角为120°的等腰△PQR的顶点P，Q的坐标分别为P（1，0），Q（3，3），则顶点R的坐标为.
16.（2025·衡阳一模）已知点A，B，C在圆x2＋y2＝4上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（1，0），则｜PA＋PB＋PC｜的取值范围是.