第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式
【课标要求】（1）理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα（α≠π2＋kπ，k∈Z）；（2）
知识点一同角三角函数基本关系式
1.平方关系：sin2α＋cos2α＝（α∈R）.
2.商数关系：tanα＝（α≠kπ＋π2，k∈Z）
提醒平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋π2（k∈Z
3.同角三角函数关系式的常见变形
（1）sin2α＝1－cos2α＝（1＋cosα）（1－cosα）；
（2）cos2α＝1－sin2α＝（1＋sinα）（1－sinα）；
（3）（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；
（4）sinα＝tanαcosα（α≠π2＋kπ，k∈Z）
（1）〔多选〕已知θ∈（0，π），sinθ＋cosθ＝15，则（）
A.θ∈（π2，π） B.cosθ＝－
C.tanθ＝－34 D.sinθ－cosθ＝
（2）已知tanα＝12，则sin3α＋sinαcos3α＋sinαcos2α＝
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规律方法
1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的
2.形如asinα＋bcosαcsinα＋dcosα，asin2α＋bsin
3.对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.
练1（1）（人A必修一P185习题12题改编）已知sinαcosα＝－1225，α∈（π2，π），则sinα－cosα＝（
A.1225B.±75C.－75
（2）（2023·全国乙卷文14题）若θ∈（0，π2），tanθ＝12，则sinθ－cosθ＝
知识点二三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
（k∈Z）
π＋α
－α
π－α
π2－
π2＋
正弦
sinα
－sinα
sinα
cosα
余弦
cosα
cosα
－cosα
sinα
－sinα
正切
tanα
tanα
－tanα
提醒诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·π2＋α（k∈Z）”中的k是奇数还是偶数；“变”与“不变”是指函数的名称的变化；“符号看象限”指的是在“k·π2＋α（k∈Z）”中，将α看成锐角时，“k·π2＋α（k∈Z
结论（1）sin（kπ＋α）＝（－1）ksinα（k∈Z）；
（2）cos（kπ＋α）＝（－1）kcosα（k∈Z）.
（1）化简
cos（π＋
A.－1 B.1 C.tanα D.－tanα
（2）已知cos（α＋π3）＝23，则sin（α－π6）
A.13 B.
C.－32 D.－
听课记录
规律方法
1.利用诱导公式解题的一般思路
（1）化绝对值大的角为锐角；
（2）角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数
2.常见的互余和互补的角
（1）互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与
（2）互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3
练2（1）（苏教必修一P191例12改编）已知cos（75°＋α）＝13，则cos（105°－α）＋sin（15°－α）＝
（2）已知A＝sin（kπ＋α）sinα＋cos（
提能点
同角关系与诱导公式的综合应用
（1）已知α为锐角，且2tan（π－α）－3cos（π2＋β）＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，则sinα＝（）
A.355 B
C.31010 D
（2）（2025·合肥第一中学教学质量检测）已知sinα＝2m－3m+2，cosα＝－m+1m+2，且
听课记录
规律方法
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数符号的影响.
练3（1）（2025·衡水模拟）已知sin（3π2－α）＋cos（π－α）＝sinα，则2sin2α－sinαcosα＝（
A.2110 B.
C.32 D.
（2）（2025·上饶清源学校段考）已知0＜α＜π2，且sin（α－π3）＝14，则sin（5π6－
A.－154 B.－