第6课时二项分布、超几何分布与正态分布
[考试要求]1．理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题．2．借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
1．n重伯努利试验与二项分布
(1)n重伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2．超几何分布
(1)定义
在含有M件次品的N件产品中，随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝CMkCN?Mn?kCNn，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，
(2)超几何分布的均值
若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝nMN
3．正态曲线与正态分布
(1)我们称f(x)＝1σ2πe?x?μ22σ
(2)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
(3)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
②曲线在x＝μ处达到峰值1σ
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(4)正态变量在三个特殊区间内取值的概率
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．
(5)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．
提醒：正态分布是连续型随机变量，要注意它是用面积表示概率，解决问题一定用到对称性．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布． ()
(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布． ()
(3)超几何分布与二项分布的期望值相同． ()
(4)正态曲线与x轴围成的面积随参数μ，σ的变化而变化． ()
[答案](1)√(2)√(3)√(4)×
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第三册P79例6改编)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是()
A．25B．35C．18
D[袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C32
2．(人教A版选择性必修第三册P78探究改编)设50个产品中有10个次品，任取产品20个，取到的次品可能有X个，则E(X)＝()
A．4 B．3
C．2 D．1
A[由题意，E(X)＝10×2050
3．(人教A版选择性必修第三册P87练习T1改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
C[∵μ＝0，∴P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023，
∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954．]
4．(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝________．
310[由题意得P(X＝2)＝C32
考点一二项分布
二项分布的期望
[典例1](2024·湘豫名校联考)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局．根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为23
(1)经过3局比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望；
(2)若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率．
[解](1)由题意得，X～B3，23
则PX=0＝1?233
PX=1＝C31×
PX=2＝C32×232×1?23＝
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
2
4
8
因为X～B3，23，所以