江苏省南京市第二十九中学2024?2025学年高一下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．若，则的虚部为（????）
A． B． C． D．
2．已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（）
A． B． C． D．
3．欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”.根据以上内容，可知在复平面内对应的点位于（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知，则“”是“”的（???）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（???）
A．4 B．6 C．8 D．12
6．已知，若向量与向量互相垂直，则（????）
A． B． C．5 D．
7．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧.若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为（???）
A． B． C． D．
8．定义有序实数对的“跟随函数”为.记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，若直线与有且仅有四个不同的交点时，实数的取值范围（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（）
A．在中，若，则
B．在中，若，，且该三角形有两解，则的取值范围为
C．若向量，，则在上的投影向量的坐标为
D．在中，若，则是等腰三角形
10．设复数在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（????）
A．
B．若，且，则
C．若，则的最大值为5
D．若，则点的集合所构成图形的面积为
11．如图（1），在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE，分别交BD于点M，N，将沿直线BD折起到的位置，如图（2），则下列说法正确的是（???）
??
A．在翻折的过程中，恒有平面PEN
B．若G为直线PN上一点，则点G到直线AM的最短距离为
C．当二面角的大小为时，
D．当平面平面ABD时，三棱锥外接球的表面积为
三、填空题
12．已知是关于的方程的一个根，则.
13．已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是.
14．在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为．
四、解答题
15．当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
（1）为实数；
（2）为纯虚数；
（3）在复平面内对应的点位于第四象限.
16．在中，.
（1）求；
（2）若的面积为18，的平分线与边BC交于点D，求AD的长.
17．如图，在直三棱柱中，为的中点.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为.
（1）求；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.
18．如图，为的中线的中点，过点的直线分别交两边于点，记，设.
（1）试用向量表示；
（2）判断是否是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由；
（3）设的面积为的面积为，求的取值范围.
19．已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，.
（1）求；
（2）在中，若，是的中点，，设与相交于点.求的值；
（3）若为锐角三角形，且外接圆圆心为，求和面积之差的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由可得，
故，故虚部为，
故选C
2．【答案】A
【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，则，解得，
则该圆锥的高，
故该圆锥的体积为，
故选A.
3．【答案】B
【详解】利用欧拉公式可知，
其在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.
故选B
4．【答案】A
【详解】由，且，得，
则；故
由，得，
所以
∵，∴
∴
由，解得或
故“”是“”的充分不必要条件．
故选A.
5．【答案】C
【详解】因为是的边上的一点（不包含端点）且，
可得，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选C
6．【答案】C
【详解】因为，，显然、、、均不为，
所以，即，所以，
所以，
因为向量与向量互相垂直，
所以
则，又，解得.
故选C
7．【答案】D
【详解】如图，
设球的半径为，，，
，
，
，即该球体建筑物的体积为.
故选D
8．【答案】B
【详解】根据题意可得，所以，
当时，，
当时，，
所以，
画出函数图象如下图所示：
易知当或时，取得最大值为2，当或时，；
当时，取得最小值为，
由图可知若直线与有且仅有四个不同的交点时，则.
即实数的取值范围为.
故选B
9．【答案】ABC
【详解】对于A，由大边对大角，则等价于，
再结合正弦定理可得，故A正确；
对于B，由正弦定理