湖北省武汉市第六中学2024?2025学年高一下学期第3次月考数学试卷
一、单选题
1．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（????）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2．复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知且单位向量在方向上的投影向量为，则与的夹角为（???）
A． B． C． D．
4．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，．则平面四边形的周长为（????）
A．14 B．12 C．10 D．8
5．若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（???）
A．4 B．6 C．8 D．12
6．如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若下底面正方形边长为2，“四角反棱台”高为，则该几何体体积为（???）
??
A． B． C． D．20
7．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（????）
A． B． C． D．
8．已知与是平面内两个非零向量，，，，点P是平分线上的动点.当取最小值时，的值为（????）.
A．. B．. C．. D．.
二、多选题
9．平面垂直于平面，且，下列命题正确的是（????）
A．平面内一定存在直线平行于平面
B．平面内已知直线必垂直于平面内无数条直线
C．平面内任一条直线必垂直于平面
D．过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面
10．在中，设，，，则下列说法正确的是（????）
A．的面积为12 B．外接圆的周长是
C．若为的中点，则中线长度为 D．内切圆的面积是
11．如图，多面体容器，底面水平放置，，，所在的平面均与底面垂直，且四个三角形均是边长为2的等边三角形，下列选项正确的是（???）.
??
A．
B．平面平面
C．经过直线的平面截该几何体，截面的最大面积为
D．从上面往该容器注水，当水面是正多边形时（未注满），注入的水的容积为
三、填空题
12．若复数z满足，则．
13．在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的面积最大值是．
14．在中，，，，P为边AB上的动点，沿CP将折起形成直二面角，当最短时，此时三棱锥的体积为．
四、解答题
15．的内角、、的对边分别为、、，已知，的面积为．
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长．
16．如图所示，正四棱锥，，底面边长，M为侧棱PA上的点，且．
（1）求正四棱锥的体积；
（2）若为的中点，证明：平面；
（3）侧棱上是否存在一点E，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点.
（1）若，求证：平面；
（2）若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值.
18．如图，在三棱锥中，底面，平面平面.
（1）求证：；
（2）若，，是的中点，、分别在线段、上移动.
①求与平面所成角的正切值；
②若平面，求线段长度取最小值时二面角平面角的正切值．
19．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知三棱锥如图所示．
（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）若平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为，求点A到平面PBC的距离；
（3）在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度．
参考答案
1．【答案】D
【详解】对于A，若，，则，或，故A错误；????
对于B，若，，则，或与相交，故B错误；
对于C，若，，则与相交，或，或，故C错误；????
对于D，若，，则，故D正确.
故选D.
2．【答案】A
【详解】，
故对应的点为，位于第一象限，
故选A
3．【答案】C
【详解】因为在方向上的投影向量为，所以，
因为，为单位向量，所以，所以与的夹角为.
故选C.
4．【答案】B
【详解】将直观图还原得平行四边形，如下图，
所以，
所以平面四边形为菱形，
其周长为.
故选B.
5．【答案】C
【详解】因为是的边上的一点（不包含端点）且，
可得，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选C
6．【答案】C
【详解】如图，把几何体补全为长方体，则，，
??
所以该几何体体积为.
故选C.
7．【答案】D
【详解】
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
∴，，，
∴，即，
∵平面，平面，∴平面.
∴直线到平面的距离为点