黑龙江省哈尔滨市宾县第一中学2024?2025学年高一下学期第二次月考数学试题
一、单选题
1．在中，角所对边分别为，且，（????）
A． B．或 C． D．或
2．已知边长为2的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（????）
A． B． C． D．
3．设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（??????）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
4．使复数为纯虚数的最小自然数是（???）
A． B． C． D．
5．已知圆台的上下底半径分别为，高为.光源点沿该圆台上底面圆周运动一周，其射出的光线始终经过圆台轴截面对角线的交点，则光线在圆台内部扫过的面积为（????）
A． B． C． D．
6．已知向量，向量满足，则的最小值为（???）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．复数（，是虚数单位）在复平面内对应点为，设，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，，例如：，，复数满足，则可能取值为（????）
A． B．
C． D．
8．如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，则（????）
A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限
C． D．
10．已知，内角分别对应边则下列命题中正确的是（????）
A．若，则为钝角三角形
B．在锐角中，不等式恒成立
C．若，则的面积为
D．若，且有两解，则的取值范围是
11．某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则（????）
A．该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为
B．若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥的底面内，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高为
C．若该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为
D．若该圆锥内部有一个正方体，且底面在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，以为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为
三、填空题
12．已知一个圆台的上下底面半径分别为和，且它的侧面展开图扇环的面积为，则这个圆台的体积为．
13．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选两处作为测量点，测得的距离为，，在处测得大楼楼顶的仰角为.则大楼的高度为.
14．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点D为AC边的中点，已知，则当角C取到最大值时等于.
四、解答题
15．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求A；
（2）若，求的面积.
16．如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面.
（1）求与平面所成的角；
（2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
17．如图所示，某海域在A，B两处分别设有停靠码头，B在A北偏东30°相距海里处，现由甲，乙两艘货船分别从A，B两处向C处航行．甲货船从A处以海里/小时的速度沿着正东方向行驶，乙货船从B处以3海里/小时的速度向沿东偏南45°的方向行驶，当航行至1小时，甲货船到达E处，乙货船到达F处，此时乙货船因故障停止航行并发出求救信号，甲接到信号后立即掉转方向并以海里/小时的速度行至F处施展抢修工作．
(1)求码头B和甲船位置E处相距多少海里．
(2)若抢修工作共经历1小时，抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，则自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共经过了多长时间，
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，在棱上且侧面，，垂足为．
（1）求证：平面；
（2）若平面与直线交于点，证明：；
（3）侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值．
19．在锐角中，记的内角的对边分别为，，点为的所在平面内一点，且满足．
（1）若，求的值；
（2）在（1）条件下，求的最小值；
（3）若，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
【详解】由正弦定理有，即，解得，
注意到，由大边对大角有，所以.
故选A.
2．【答案】C
【详解】如图，是边长为2的正的直观图，则，，则高，故的面积.
故选C.
??
3．【答案】C
【详解】对于A中，由，只有当与相交时才能得到，所以A错误；
对于B中，由，，可得，又由，所以，所以B错误；
对于C中，若，，所以，又，所以，所以C正确；
对于D中，由，，则或，当时，由，则或与异面；当时，由，则或与相交，所以D错误．
故选C.
4．【答案】C
【详解】因为，，
因此使得复数为纯虚数的最小自然数是.
故选C.
5．【答案】A
【详解】
光线在圆台内部扫过的面积为圆锥的侧面积，
圆台的上、下底面，令，，设，，则
∴，∴，