河北省邢台市第一中学2024?2025学年高一下学期第二次月考数学试题
一、单选题
1．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（????）
A． B． C． D．
2．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（???）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
3．下列命题中正确的是（???）
A．若空间四点共面，则其中必有三点共线
B．若空间四点中有三点共线，则此四点必共面
C．若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面
D．空间四边形中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形为正方形
4．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（???）
A． B． C． D．
5．已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（???）
A．若，，则
B．若，，则
C．若直线与异面，则过空间任意一点与和都平行的平面有且仅有一个
D．若，，，则且
6．在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c.若，，，则（???）
A．10 B．7 C．4 D．3
7．如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（???）
A． B． C． D．
8．已知四面体满足，，动点M在四面体的外接球的球面上，且，则点M的轨迹的长度为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（???????）
A． B．复数的虚部为
C．若复数为纯虚数，则 D．若为复数，则为实数
10．如图是一个边长为的正方体的平面展开图，在相应正方体中，为棱的中点，点为侧面内一动点（包括边界），若平面，下列结论正确的为（???）
A．
B．点的轨迹为正方形的内切圆的一段圆弧
C．存在唯一的点，使得，，，四点共面
D．长度的取值范围为
11．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同，如图2，设，则下列说法正确的是（???）
A．该多面体的体积为
B．过、、三点的平面截该多面体所得的截面面积为
C．设点为平面截该多面体所得截面多边形内一点（包括边界），则的取值范围为
D．该多面体的外接球表面积为
三、填空题
12．复数.
13．已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为．
14．如图，正方体中，P、Q、R、S、T分别为线段、、、、的中点，联结、，对空间任意两点M、N，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称M、N两点可视.则此正方体中的点A、P、Q、R中与点可视的点有.（答案从“点A、点P、点Q、点R”中选择）
四、解答题
15．如图，在中，，，，点D，E满足，，AC边上的中线BM与DE交于点O.设，.
（1）用向量，表示，；
（2）求.
16．如图所示，在四边形中，，，，，E为的中点，连接.
（1）将四边形绕着线段所在的直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积；
（2）将四边形绕着线段所在的直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积.
17．已知锐角的内角所对的边分别为，向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的最小值；
（3）若，边上的中线长为，求的值.
18．一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心.
（1）证明：平面；
（2）设平面平面，试判断直线与的位置关系，并给出证明；
（3）在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面?若存在，说明点的轨迹，并进行证明；若不存在，说明理由.
19．一个几何系统的“区径”是指几何系统中的两个点距离的最大值，如圆的区径即为它的直径长度.
（1）求长宽高为2、3、4的长方体的区径；
（2）已知正方体的棱长为2，求
①外接圆的区径；
②正方体的棱切球（与各棱相切的球）的区径；
③正方体的棱切球（与各棱相切的球）和外接圆构成的几何系统的区径.
参考答案
1．【答案】D
【详解】，，
则，
所以在上的投影向量的坐标为．
故选D．
2．【答案】C
【详解】由题意，在原中，，
因为，则，
又，所以，为中点，
则，
所以原是一个等腰三角形.
故选C.
3．【答案】B
【详解】对A，四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故A错误，
对于B，若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；B正确，
对于C，若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，C错误，
对于D，空间四边形中，，E，F，分别为，的中点，G，H分别为，的中点，所以，所以，
同理，所以，则四边形为长方形，不能得出正方形，D选项错误；
故选B
4．【答案】C
【详解】，
∴，，
∴；
又知，平方可得，
∴，∴.