河北省香河县第一中学2024?2025学年高一下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．已知复数，则复数的虚部为（????）
A．1 B． C． D．
2．在中，，，，则（????）
A． B．
C． D．
3．已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（???）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（????）
A． B． C． D．
5．在中，角的对边分别是，若，则（????）
A．2 B．3 C． D．
6．在中，，，点是线段上靠近点的三等分点，则（????）
A． B． C． D．
7．正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（???）
A．4 B．2 C． D．
8．已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是（????）
??
A． B．2 C． D．3
二、多选题
9．已知向量，，下列命题中正确的有（????）
A． B．
C． D．
10．如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（????）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（????）
A．不存在点，使得平面
B．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C．三棱锥的体积为4
D．三棱锥的外接球表面积为
三、填空题
12．已知i是虚数单位，则复数．
13．已知，，且与的夹角，则.
14．已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线AC折叠成大小为二面角．设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为．
四、解答题
15．在中，已知，是边上的一点，,,.
（1）求的大小；
（2）求的长.
16．如图，底面是正方形的直棱柱中，，.
（1）求直线与平面ABCD所成角的正切值；
（2）求证：.
17．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
18．如图，在四棱锥中，平面，，，，．
??
（1）求证：平面；
（2）若异面直线与所成的角为，求点B到平面的距离．
19．斜三棱柱中，所有棱长都为2，，平面平面.
??
（1）若为中点，E点在线段上，且，求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为复数，所以复数的虚部为.
故选B.
2．【答案】A
【详解】由正弦定理可得，又，，，
所以，所以，
又，所以，
所以，
故选A.
3．【答案】C
【详解】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误；
对B：若，，则或，故B错误；
对C：根据线面垂直的定义可知，C正确；
对D：若，，则直线与平面的位置关系不确定，故D错误.
故选C
4．【答案】B
【详解】由题意可得，所以异面直线与所成的角等于，
由正方体的性质可得，
故选B
5．【答案】A
【详解】因为，
由正弦定理，可得，所以，
又因为，所以，所以，
又由正弦定理，可得，即
因为，所以.
故选A.
6．【答案】B
【详解】??，
，
因，所以，
又，
所以，
故选B
7．【答案】D
【详解】连接，相交于点，则为正方形的中心，
故⊥底面，
取的中点，连接，则，，
故为二面角的平面角，所以，
故，
所以该四棱锥的体积为.
故选D
8．【答案】A
【详解】??
取的中点，的中点，连接，，，，如图所示.
在正方体中，
∵，且，
∴四边形是平行四边形，∴.
又平面，平面，∴平面.
∵，分别是和的中点，∴.
同理可知，∴.
又平面，平面，∴平面.
又，平面，平面，
∴平面平面.
∵平面，动点P在正方形（包括边界）内运动，
∴点在线段上运动.
在中，易求，，为等腰三角形，
∴点为线段的中点时，取得最小值.
??
此时，
即的最小值为.
故选A.
9．【答案】AC
【详解】因为，所以不平行，B错误；
因为，所以，C正确；
因为，所以，
又，所以，A正确，D错误.
故选AC
10．【答案】ACD
【详解】对于A，因为垂直于圆所在的平面，又在圆所在的平面内，所以，
又为圆的直径，所以，又，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，若平面，又平面，则，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，这与为圆的直径矛盾，
故平面不成立，故B错误；
对于C，因为垂直于圆所在的平面，即平面，
又平面，所以平面平面，故C正确；
对于D，因为平面，又平面，
所以，又，，又平面，
所以平面，平面，所以平面平面，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】BD
【详解】
对于A，当为中点时，由中位线可得，
因为平面，平面，所以