甘肃省武威市第七中学2023?2024学年高一下学期期末考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数，则的虚部是（????）
A． B． C．2 D．
2．设向量，若，则（????）
A．5 B．2 C．1 D．0
3．天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（????）
A． B． C． D．
4．正方形的边长是2，是的中点，则（????）
A． B．3 C． D．5
5．已知，，则的值为（????）
A． B． C． D．
6．已知三棱锥中，，，，E，F分别是PA，BC的中点，则EF与AB所成的角大小为（????）
A． B． C． D．
7．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点，，测得，，，并在处测得塔顶的仰角为45°，则塔高（）
A． B． C． D．
8．如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（?????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知事件，且，则下列结论正确的是（????）
A．如果，那么
B．如果A与B互斥，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A，B与C两两互斥，那么
10．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（????）．
A．若平面α，β垂直同一个平面，则
B．若且，则
C．若平面α，β不平行，则在平面α内不存在平行于平面β的直线
D．若，且，则l与α所成的角和m与β所成的角相等
11．下列式子化简正确的是（????）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．从1，2，3，4，5这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为．
13．某圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积为，则该圆锥的全面积为．
14．如图，已知正方体的棱长为1，点在棱上运动，过三点作正方体的截面，若为棱的中点，则截面的面积为．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设，复数是纯虚数.
(1)求m的值；
(2)若是方程的一个根，求实数p，q的值.
16．已知，，与的夹角为45°.
(1)求在方向上的投影向量；
(2)求的值；
(3)若向量与平行且方向相同，求实数.
17．某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立.根据甲?乙?丙三人现有的水平，第一次选拔，甲?乙?丙三人合格的概率依次为；第二次选拔，甲?乙?丙三人合格的概率依次为.
(1)求第一次选拔后甲?乙两人中只有甲合格的概率；
(2)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率.
18．已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围.
19．如图，已知为圆O的直径，D为线段上一点，且，为圆O上一点，且，平面，．
(1)求；
(2)求证：；
(3)求三棱锥的体积．
参考答案
1．【答案】C
【分析】利用复数的除法求出复数，可得复数的虚部.
【详解】复数，
则的虚部是2.
故选C.
2．【答案】A
【分析】利用向量垂直的性质直接求解．
【详解】向量，，，
，可得，
．
故选．
3．【答案】B
【分析】根据题意，计算随机数中每组数中有2个数字在集合中判断即可
【详解】由题意，随机数中417，386，196，206表示这三天中恰有两天下雨，故估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为.
故选：B.
4．【答案】B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选B.
5．【答案】C
【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.
【详解】，
，
两式相加得，
所以.
故选C.
6．【答案】A
【分析】设为的中点，在中，为与所成的角，代入数据求值即可.
【详解】取的中点，连接，，如图，
又为的中点，所以，，
同理可得，，
则为与所成的角，因为，所以，
在中，，所以与所成的角为.
故选A.
7．【答案】D
【分析】由已知在中，利用正弦定理可求的值，在中，由，可求塔高的值.
【详解】在中，，，，
由