福建省龙岩市第一中学2024?2025学年高一下学期第二次月考数学试题
一、单选题
1．已知复数，则（????）
A．的实部为 B．的虚部为
C． D．
2．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（????）
A．平均数第60百分位数众数 B．平均数第60百分位数众数
C．第60百分位数众数平均数 D．平均数第60百分位数众数
3．已知向量，满足，，则（????）
A． B． C． D．
4．已知的内角，，的对边分别为，，，，，下面使得有两组解的的值可以为（????）
A．3 B． C．2 D．
5．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（????）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．如图，是由斜二测画法得到的水平放置的直观图，其中，点为线段的中点，对应原图中的点，则在原图中下列说法正确的是（????）
??
A．
B．的面积为2
C．在上的投影向量为
D．与同向的单位向量为
7．如图，在棱长为4的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M为棱DD1的中点，N为棱B1
A.2 B.32 C.1 D.
8．已知5名篮球运动员在某场比赛中的得分均为个位数，且平均数、中位数和极差均为6，则当方差取最大值时，这组得分的第60百分位数是（????）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
二、多选题
9．下列说法中正确的是（????）
A．已知向量，若，则
B．已知非零向量，“”是“”的充要条件
C．若是直线上不同的三点，点在直线外，，那么
D．已知非零向量，“”是“夹角为锐角”的必要不充分条件
10．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则下列结论正确的是（????）
??
A．直线与为异面直线 B．平面
C．三棱锥外接球的体积为 D．二面角的余弦值为
11．如图，在中，已知，边上的中点为边上的中点为，相交于点，则下列结论正确的是（????）
??
A．
B．的内切圆的半径为
C．与夹角的余弦值为
D．过点作直线交线段和于点，则的取值范围是
三、填空题
12．某学校师生共有3000人，现用分层抽样方法抽取一个容量为225的样本，已知样本中教师人数为15人，则该校学生人数为．
13．在直三棱柱中，，，动点在棱上，则点到平面的距离为．
14．在中，为边的中点，的平分线交于点，若的面积为1，则的面积为，的最小值为.
四、解答题
15．已知是复数，和均为实数，，其中是虚数单位.
(1)求复数的共轭复数;
(2)若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
16．随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注．某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人人．年龄在的老年人人．现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如图所示）：
(1)根据频率分布直方图，若每个区间取中点值为代表，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第百分位数；
(2)已知年龄在的老年人年收入的方差为，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为和，试估计年龄在的老年人年收入的方差．（请先推导必要的公式，再代值计算）
17．在中，角的对边分别为，且向量.
(1)求角；
(2)若的面积为，点为边的中点，求的长.
18．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点．现将沿DE折起，得到四棱锥．
(1)证明：平面ADE；
(2)当为等边三角形时，证明：平面平面BCDE；
(3)在（2）的条件下，求二面角的余弦值．
19．如图，在三棱锥中，侧面和底面均为正三角形，且．
（1）求证：；
（2）已知在棱上（不含端点）且，
（ⅰ）若，求二面角的大小；
（ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值．
参考答案
1．【答案】C
【分析】先进行化简，后根据实部虚部概念，模长公式，共轭复数概念解题即可.
【详解】,则的实部为，虚部为，，.
故选C．
2．【答案】D
【解析】从数据为20，30，40，50，50，60，70，80中计算出平均数、第60百分位数和众数，进行比较即可.
【详解】平均数为，
，
第5个数50即为第60百分位数.
众数为50，
它们的大小关系是平均数第60百分位数众数.
故选D.
3．【答案】A
【分析】利用向量的相关知识，计算出，借助数量积公式计算即可.
【详解】结合题意：，，
，，
．
故选A.
4．【答案】B
【详解】由题意，根据正弦定理有，所以，
要使有两组解，则，且，即，