北京市第二中学2024?2025学年高一下学期第五学段数学试题
一、单选题
1．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
2．设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为（????）
A． B． C． D．
3．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（????）
A． B． C． D．
4．如图所示，为的直观图，且的面积为，则中最长的边长为（????）
A． B．
C． D．
5．已知单位向量满足，则与的夹角为（????）
A． B． C． D．
6．在中，，则“”是“是钝角三角形”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（????）
A． B． C． D．
8．如图所示，圆锥形容器的高为，容器内水面的高为，且，若将容器倒置，水面高为，则等于（????）
A． B． C． D．
9．如图，已知正方体的棱长为，、分别是棱、上的动点，设，.若棱与平面有公共点，则的取值范围是（???）
A． B． C． D．
10．在湖南省湘江上游的永州市祁阳县境内的沿溪碑林，是稀有的书法石刻宝库，保留至今的有505方摩崖石刻，最引入称颂的是公元771年摹刻的《大唐中兴颂》，因元结的“文绝”，颜真卿的“字绝”，摩崖石刻的“石绝”，誉称“摩崖三绝”，该碑高3米，宽3.2米，碑身离地有3.7米（如图所示），有一身高为的游客从正面观赏它（该游客头顶T到眼睛C的距离为），设该游客离墙距离为x米，视角为，为使观赏视角最大，x应为（????）
A． B．3 C． D．
11．如图所示，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得到，设，点分别为棱的中点，为线段上的动点，下列说法错误的是（????）
A．在翻折过程中，存在某个位置使得
B．若，则与平面所成角的正切值为
C．三棱锥体积的最大值为
D．当时，的最小值为
12．在单位正方体内任取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分成个小长方体，则这些小长方体中体积不大于的长方体的个数的最小值是（????）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在正方体中，二面角的平面角等于．
14．已知向量．若，则．
15．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是.
16．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，记平面AD1E与平面ABCD的交线为l1，平面AD1E与平面ABB1A
17．已知正四面体中，分别在棱上.若,，则．
18．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设．
①若平面是面积为的等边三角形，则；
②若，则；
③若平面为直角三角形，且，则；
④若，则球面的体积；
其中所有正确结论的序号是．
三、解答题
19．已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，求的最大值和最小值及取得最值时相应的值.
20．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.
??
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求证：平面.
21．已知的面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）和的值；
（2）的值．
条件①:，；条件②:，.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
22．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．
23．对于n行n列（）的数表，定义T变换：任选一组，其中，，对于A中第行和第j列个数，将每个数同时加1，或者将每个数同时减1，其余的数不变，得到一个新数表．
（1）已知对依次进行4次T变换，如下：，写出a，b，c，d的值．
（2）已知，，那么是否可以依次进行有限次T变换，将A变换为B？说明理由．
（3）已知11行11列的数表，那么是否可以依次进行k次T变换，将其变换为？若可以，求k的最小值；若不可以，说明理由．
参考答案
1．【答案】D
【详解】
如图，在正方体中分析选项A、B、C.
A.平面，平面，平面平面，但，A错误