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第40天解三角形（确保120分）
十年高考（新课标1卷）
考查阐述（考点、考向、交汇点等）
试题难度（低，中，高）
2015
利用正余弦定理解三角形
中
2016
利用正余弦定理求周长
中
2017
利用正余弦定理求周长
中
2018
利用正余弦定理求角和边
中
2019
利用正余弦定理求角
中
2020
利用正余弦定理求角和面积
中
2021
利用正余弦定理求角和边
中
2022
利用正余弦定理求周长
中
2023
利用正余弦定理求角和边
中
2024
利用正余弦定理求角和边
中
命题热度预测2025
利用正余弦定理解三角形是历年高考必考内容，主要考查利用正弦定理边角互化、余弦定理求周长和面积等，难度中等偏下.预计2025年高考仍然会对正余弦定理进行考查.
【2015新课标Ⅰ卷】
1．已知分别是内角的对边，．
（1）若，求
（2）若，且求的面积．
【答案】（1）；（2）1
【难度】0.85
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【详解】试题分析：（1）由，结合正弦定理可得：，再利用余弦定理即可得出
（2）利用（1）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出
试题解析：（1）由题设及正弦定理可得
又，可得
由余弦定理可得
（2）由（1）知
因为，由勾股定理得
故，得
所以的面积为1
考点：正弦定理，余弦定理解三角形
【2016新课标I卷】
2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角C；（2）若，，求的周长.
【答案】（1）（2）
【难度】0.65
【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.
试题解析：（1）由已知可得
（2）
又
，
的周长为
考点：正余弦定理解三角形.
【2017新课标I卷】
3．△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为
(1)求;
(2)若求△ABC的周长.
【答案】(1)(2).
【难度】0.65
【知识点】三角形面积公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【详解】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.
试题解析：（1）由题设得，即.由正弦定理得.
故.
（2）由题设及（1）得，即.
所以，故.
由题设得，即.
由余弦定理得，即，得.
故的周长为.
点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
【2018新课标I卷】
4．在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）.
【难度】0.65
【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【分析】（1）方法一：根据正弦定理得到，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；
（2）方法一：根据第一问的结论可以求得，在中，根据余弦定理即可求出．
【详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系
在中，由正弦定理得，代入数值并解得．又因为，所以，即为锐角，所以．
［方法2］：余弦定理
在中，，即，解得：，所以，
．
［方法3］：【最优解】利用平面几何知识
如图，过B点作，垂足为E，，垂足为F．在中，因为，，所以．在中，因为，则．
所以．
［方法4］：坐标法
以D为坐标原点，为x轴，为y轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）．
设，则．因为，所以．
从而，又是锐角，所以，．
（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理
在，由（1）得，，
，所以．
［方法2］：【最优解】利用平面几何知识
作，垂足为F，易求，，，由勾股定理得．
【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；
方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；
方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．
方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现．
（2）