三角恒等变换与解三角形
三角恒等变换
命题角度：(1)三角函数式的化简；(2)三角函数式的求值；(3)三角恒等变换的综合应用．
典例1(2023·新高考Ⅰ卷T8)已知sin(α－β)＝13，cosαsinβ＝16，则cos(2α＋2β)＝(
A．79 B．1
C．－19 D．－
命题立意：本题以三角函数式化简求值为载体，考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式，属于课程学习情境，考查的学科素养是理性思维和数学探索．
思维拆解
解题思路
名师点拨
第1步：由已知结合两角和与差的正弦公式先求出sinαcosβ．
第2步：求出sin(α＋β)．
第3步：结合二倍角公式可求．
解：依题意得sin
所以sinαcosβ＝12
所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝12+1
所以cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×232＝19．
(1)易错警示：①混淆两角差的正弦公式与余弦公式的区别；②混淆两角差的正弦公式与两角和的正弦公式的区别．
(2)观察题干中所求的cos(2α＋2β)，利用二倍角公式，转化为求两角和的正弦是突破瓶颈的关键．
归纳总结：三角恒等变换的“四大策略”
(1)常值代换：常用到“1”的代换，如1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角的公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化．
解三角形
命题角度：(1)三角形中基本量的计算；(2)解三角形与三角函数的交汇问题．
典例2(2024·新高考Ⅰ卷T15)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC＝2cosB，a2＋b2－c2＝2ab．
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋3，求c．
命题立意
审题指导
本题以三角形中的边角关系为载体，考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，综合性较强，考查运算求解、逻辑推理能力．
(1)a2＋b2－c2＝2ab余弦定理的推论cosC―→角C
2由1得角
思维拆解
解题思路
名师点拨
(1)第1步：利用余弦定理的推论求角C．
第2步：将角C代入已知等式求角B．
(2)第1步：求角A．
第2步：利用正弦定理得出b，c的关系．
第3步：利用三角形面积公式求c．
解：(1)由余弦定理的推论得cosC＝a2+b2-c22ab，a2＋b
所以cosC＝2ab2ab＝
又0＜C＜π，所以C＝π4
所以2cosB＝sinC＝22，所以cosB＝1
又0＜B＜π，所以B＝π3
(2)由(1)得A＝π－B－C＝5π
又sin5π12＝sinπ4
由正弦定理bsinB＝csinC，得b＝32
因为△ABC的面积为3＋3，
所以12bcsinA＝12×62c2×6
所以c＝22．
(1)余弦定理，化边为角．
(2)求角的大小，要注意角的范围，根据条件，将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．
(3)若第(1)问没有附加条件，解答第(2)问时，可以直接使用第(1)问的结论；若第(1)问有附加条件，则第(2)问不能使用第(1)问的结论．
归纳总结：掌握并熟记一些常见的三角函数值，如cosπ12＝sin5π12＝6+24，sinπ