第9招巧用勾股定理判定直角的六种方法鲁教五四版七年级上

例典例剖析某校把一块三角形的废地开辟为植物园，如图，测得AC＝80m，BC＝60m，AB＝100m.

解题秘方：解实际生活中的问题，需先将实际问题通过建立数学模型转化为数学问题，再利用数学知识进行解答．

(1)若入口E在边AB上，且与A，B的距离相等．求从入口E到出口C的最短路线的长；(提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

(2)若线段CD是一条水渠，且点D在边AB上，点D距点A多远时，水渠最短？

方法1利用三边的数量关系说明直角分类训练1．如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，求∠PAB＋∠PBA的度数．

【解】如图，延长AP交格点于点D，连接BD.设小正方形的边长为1，则PD2＝BD2＝12＋22＝5，PB2＝12＋32＝10，所以PD＝BD，PD2＋DB2＝PB2.所以∠PDB＝90°.所以∠DPB＝45°，所以∠PAB＋∠PBA＝∠DPB＝45°.

2．如图，在四边形ABCD中，BC＝DC＝2，AD＝3，AB＝1，且∠C＝90°，求∠B的度数．方法2利用转化为三角形法构造直角三角形

【解】连接BD.在Rt△BCD中，BD2＝BC2＋DC2＝22＋22＝8.因为∠C＝90°，BC＝DC，所以∠BDC＝∠DBC＝45°.在△ABD中，因为AB2＋BD2＝12＋8＝9＝32＝AD2，所以△ABD为直角三角形，且∠ABD＝90°，所以∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝90°＋45°＝135°.

3．如图，在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13.试说明：AB⊥AD.方法3利用倍长中线法构造直角三角形

【解】如图，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE.因为D为BC的中点，所以CD＝BD.又因为AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，所以△ADC≌△EDB(SAS)．所以EB＝AC＝13.在△ABE中，AE＝2AD＝12，AB＝5，所以AE2＋AB2＝122＋52＝169.又因为EB2＝132＝169，所以AE2＋AB2＝EB2.所以△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°，即AB⊥AD.

【点拨】本题运用倍长中线法构造全等三角形说明线段相等，再利用直角三角形的判定方法说明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直．

4．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．方法4利用化分散为集中法构造直角三角形

【解】连接EE′.由题意可知△ABE≌△CBE′，所以CE′＝AE＝1，BE′＝BE＝2，∠ABE＝∠CBE′.因为∠ABE＋∠EBC＝90°，所以∠CBE′＋∠EBC＝90°，即∠EBE′＝90°.在Rt△EBE′中，由勾股定理得EE′2＝BE2＋BE′2＝22＋22＝8.在△EE′C中，CE′2＋EE′2＝12＋8＝9＝CE2.所以△EE′C是直角三角形，且∠EE′C＝90°.

5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN.试说明：AB2＝2(CM＋CN)2.方法5利用“三线合一”法构造直角三角形

【解】如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E.因为DM⊥DN，所以∠MDC＋∠CDN＝90°.因为∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，所以CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠A＝∠B＝45°.所以∠CDN＋∠NDB＝90°.所以∠MDC＝∠NDB.

由∠BCD＝∠B＝45°，DE⊥BC，易得△DBE≌△DCE(AAS)．所以CD＝BD.在△CMD和△BND中，因为∠MDC＝∠NDB，CD＝BD，∠MCD＝∠B＝45°，所以△CMD≌△BND.所以CM＝BN.所以CM＋CN＝BN＋CN＝BC.又因为AB2＝AC2＋BC2＝2BC2，所以AB2＝2(CM＋CN)2.

6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AM为折痕，则B′M的长为多少？方法6利用轴对称的性质构造直角三角形

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