第6节指数与指数函数
【课标要求】（1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质；（2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象；（3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
知识点一指数幂的运算
1.根式
（1）如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根；
（2）式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数
（3）（na）n＝a.当n为奇数时，nan＝a；当n为偶数时，na
2.有理数指数幂
概
念
正分数指数幂：amn＝
a＞0，m，n∈N*，n＞1
负分数指数幂：a－mn＝1a
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
运算
性质
aras＝ar＋s
a＞0，b＞0，r，s∈Q
（ar）s＝ars
（ab）r＝arbr
（1）〔多选〕（人A必修一P109习题4题改编）下列计算正确的是（BC）
A.12(-
B.xa－1ya·（4y
C.a23b12－3a12b13÷
D.（1－2）212－（1＋2）－1＋（1＋2
（2）化简3a72·a－3÷3a－8
解析：（1）对于A，12(-3）4＝1234＝3412＝313＝33≠3－3，所以A错误；对于B，xa－1ya·（4y－a）＝4x1a×a·ya－a＝4xy0＝4x，所以B正确；对于C，a23b12－3a12b13÷13a16b56＝－9a23＋12－16·b12＋13－56
（2）3a72·a－3÷3a－8·
规律方法
指数幂的运算
练1〔多选〕（北师必修一P82习题B组3题改编）已知a＋a－1＝3，则下列选项正确的是（）
A.a2＋a－2＝7 B.a12－a
C.a12＋a－12＝±5 D.a
解析：ABD将a＋a－1＝3两边平方，得（a＋a－1）2＝a2＋2＋a－2＝9，所以a2＋a－2＝7，故A正确；因为a12－a－122＝a－2＋a－1＝3－2＝1，a12，a－12的大小不确定，所以a12－a－12＝±1，故B正确；因为a12＋a－122＝a＋2＋a－1＝3＋2＝5，又因为a12＞0，a－12＞0，所以a12＋a－12＝5，故C错误；由立方和公式，可得a3
知识点二指数函数的图象与性质
1.指数函数的概念
函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数.
2.指数函数的图象与性质
底数
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域为R，值域为（0，＋∞）
图象过定点（0，1）
当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1
当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1
增函数
减函数
结论（1）函数y＝ax与y＝1ax（a＞0，且a≠1）的图象关于y
（2）画指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：
（1，a），（0，1），－1
（3）底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”.
角度1指数函数的图象及应用
（1）（苏教必修一P151习题12题改编）
函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（D）
A.a＞1，b＜0
B.a＞1，b＞0
C.0＜a＜1，b＞0
D.0＜a＜1，b＜0
（2）（人A必修一P120习题9题改编）函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（0，1）.
解析：（1）由题中f（x）＝ax－b的图象可以观察出，函数f（x）＝ax－b为减函数，所以0＜a＜1.函数f（x）＝ax－b的图象是将f（x）＝ax的图象向左平移得到的，所以b＜0.
（2）函数y＝｜3x－1｜的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，图象如图所示，由图象可得，如果函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个不同的交点，则m的取值范围是（0，1）.
规律方法
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
练2（1）（2025·德州调研）函数y＝x｜x｜ex图象的大致形状是
解析：（1）∵y＝x｜x｜ex＝（
（2）〔多选〕（2025·海门一模）已知实数a，b满足等式2a＝3b，下列关系式中可能成立的是（ABD）
A.0＜b＜a B.a＜b＜0
C.b＜a＜0 D.a＝b
解析：（2）作出函数y＝2x与函数y＝3x的图象（如图），当2a＝3b＞1时，根据图象得0＜b＜a，故A选项正确；当2a＝3b＝1时，根据图象得a＝